- \thepage\ -} %} \input{tcilatex} \begin{document} \section{MA 115 \qquad\qquad PROJECT 2\hfill FALL 99} \section{\protect\LARGE Insulation - Is More Always Better?} \hfill \subsection{Mathematical topics encountered} \begin{itemize} \item Mathematical formulation of a physical problem \item Algebraic manipulation skills \item Exponential and logarithm \item Exact solution of algebraic equations \item Differentiation \item Extrema \begin{itemize} \item conditions \item location \item maxima or minima \end{itemize} \end{itemize} \hfill \subsection{Introduction} Insulation is commonly used to limit heat loss from pipes. There are many examples, but perhaps the most apparent ones are the insulated hot water or steam pipes seen in basements or in the older elementary or high schools. Indeed, we are all aware of the effects of asbestos. Heat losses in the pipes are offset in the end by greater demands on our heat source, say a boiler or furnace. This translates into higher fuel expenses. Of course, insulation can also be justified from a safety point of view. \qquad In this exercise, we challenge the commonly held belief that the more insulation around the pipe, the more effective the insulation is in decreasing the loss of heat. Our challenge is based on the observation that the external area increases with additional insulation allowing for more effective heat removal. Let us use some basic mathematics to investigate the question. \qquad We need to formulate the question mathematically. The formulation needs to describe heat losses from the pipe as a function of the insulation thickness and other important features of the insulated pipe. In the appendix following the exercises we summarize the underlying engineering and scientific principles so that the resulting equations will have physical meaning. For the purpose of this workshop it is sufficient to proceed directly to the heat transfer expressions (Equations \lbrack 1\rbrack\ and \lbrack 2\rbrack\ in the next section) which describe heat losses from an insulated pipe. You will need to refer to the figure below in which the configuration and important processes are illustrated and many of the physical parameters are defined. The same figure appears again in the appendix. \hfill \FRAME{dtbpFU}{322.1875pt}{209.875pt}{0pt}{\Qcb{\textbf{Section of insulated pipe carrying hot water}}}{}{Figure }{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "T";width 322.1875pt;height 209.875pt;depth 0pt;original-width 308.9375pt;original-height 200.5625pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename 'pipe.wmf';tempfile-properties "XNPR";}} \hfill \subsection{Heat transfer expressions} As described in Appendix A, the solution of equation \lbrack A3\rbrack\ and the associated boundary conditions listed in equations \lbrack\ A4\rbrack\ and \lbrack\ A5\rbrack\ provides the means to evaluate the energy flux $q$ at $r_{3}$, the outer radius of the insulation. The flux $q$ is a rate of energy transfer per unit area. The total energy transfer rate, $Q$ (essentially the energy flux $q$ multiplied by the surface area), is given by, \begin{equation} Q=U(T_{w}-T_{a})2\pi r_{1}L. \tag{\lbrack 1\rbrack } \end{equation} The variables and parameters have the following meanings (see the previous figure and Appendix A for more details): \begin{description} \item $Q$ = rate of energy transferred to the surroundings over the length $% L $. \item $U$ = overall \emph{conductivity} or \emph{heat transfer coefficient}. Note that a conductivity is the reciprocal of a resistance and that resistances in series are added to give the total resistance. It is not surprising then, to see the reciprocal of the overall conductivity expressed as a sum of resistances: \end{description} \begin{equation} \frac{1}{r_{1}U}=\frac{1}{r_{1}h_{w}}+\frac{1}{k_{m}}\ln \frac{r_{2}}{r_{1}}% + \frac{1}{k_{s}}\ln \frac{r_{3}}{r_{2}}+\frac{1}{r_{3}h_{a}} \tag{\lbrack 2\rbrack} \end{equation} \begin{description} \item $r_{1}$ \ = inner radius of the pipe \item $r_{2}$ \ = outer radius of the pipe \item $r_{3}$ \ = outer radius of the insulation \item $h_{w}$ \ =$\ $convective heat transfer coefficient from the hot water to the inside pipe wall \item $h_{a}$ \ =$\ $convective heat transfer coefficient from the outside surface of the insulation to the air \item $k_{m}$ = thermal conductivity of the pipe \item $k_{s}$ = thermal conductivity of the insulation \end{description} \hfill \subsection{The challenge} Our objective is to determine if there are possible parameter values where additional insulation (increasing $r_3$) actually results in an increase in the rate of heat transfer out of the pipe, a result counterintuitive to our perception that adding insulation will always decrease the heat loss. We will assume that the length $L$ does not change appreciably to reflect diminished or enhanced heat loss. To simplify the analysis we hold all parameters fixed except for $r_3$. Then we can view the heat transfer $Q$ as a function of one variable, the radius $r_3$, and the objective is equivalent to looking for values of $r_3$ for which $Q\,^{\prime}(r_3)$ is positive (\emph{Why?}\/). That is, are there intervals in the variable $r_3$ where an increase in $r_3$ yields an increase in $Q(r_3)$? \hfill \subsubsection{Answer to the challenge} We now fix all parameters except for the outer radius $r_3$. First observe that the $r_3$ dependency in $Q$ enters entirely through the $r_3$ dependency in $U(r_3)$. Therefore determining where $Q(r_3)$ is increasing in $r_3$ is equivalent to determining where the function $1/U(r_3)$ is decreasing with respect to $r_3$. The expression for $(r_1U(r_3))^{-1}$ in equation \lbrack2\rbrack\ consists of a constant term plus a term which increases as $\ln r_3$ and a third term which behaves as $1/r_3$. Since the $% \ln r_3$ term dominates as $r_3 \rightarrow \infty$ it is clear that $% 1/U(r_3)$ slowly grows unbounded for large $r_3$ and it follows that $Q(r_3)$ must be decreasing monotonically to zero for $r_3$ sufficiently large. Therefore, if $Q(r_3)$ is ever an increasing function of $r_3$ it must go through a local maximum to eventually start decreasing toward zero. The point here is that we can address our original objective by seeking a local maximum in the function $Q(r_3)$. \qquad We now proceed to answer the question analytically by returning to Equations\lbrack 1\rbrack\ and \lbrack 2\rbrack\ and working directly with the heat transfer function $Q(r_3)$. One purpose of this approach is to gain experience manipulating complex algebraic expressions in SNB. In the section to follow we will see how to arrive at the same conclusions by working with the simpler function $1/U(r_3)$. \hfill \begin{description} \item[Exercise 1.] \hspace{2pt} From equation \lbrack 2\rbrack, solve for $U$ as a function of $r_{3}$ and use the result to define a new Maple function $% U(r_3)$.\\[2pt] \textsl{\underline{SNB\ Instructions}}\/ : To solve for $U$ select the entire equation and choose \textbf{Maple + Solve + Exact}. Enter $U$ when prompted for the name of the \textbf{Variable(s) to Solve for}.\\[2pt] After successfully solving for $U$, edit the expression, changing $U$ to $% U(r_3)$. With the insertion point inside the expression for $U(r_3)$, select \textbf{Maple + Define + New Definition}.\\[2pt] To verify or check the current definitions, select \textbf{Maple + Define + Show Definitions}. \end{description} \hfill \emph{\underline{Result}} : \[ \frac{1}{r_{1}U}=\frac{1}{r_{1}h_{w}}+\frac{1}{k_{m}}\ln \frac{r_{2}}{r_{1}}% + \frac{1}{k_{s}}\ln \frac{r_{3}}{r_{2}}+\frac{1}{r_{3}h_{a}} \] \[ U(r_{3})=h_{w}k_{m}k_{s}r_{3}\frac{h_{a}}{k_{m}k_{s}r_{3}h_{a}+\left(\ln \frac{r_{2}}{r_{1}}\right) r_{1}h_{w}k_{s}r_{3}h_{a}+\left( \ln \frac{r_{3}}{% r_{2}}\right) r_{1}h_{w}k_{m}r_{3}h_{a}+r_{1}h_{w}k_{m}k_{s}} \] \hfill \begin{description} \item[Exercise 2.] \hspace{2pt} In Equation \lbrack1\rbrack, $Q$ may be considered as a function of $r_{3}$ since $U$ is a function of $r_{3}$. Write this dependence explicitly using Equation \lbrack1\rbrack\ and define a new Maple function $Q(r_3)$.\\[2pt] \textsl{\underline{Note}}\/ : Here it is sufficient to just modify the expression in equation \lbrack1\rbrack\ to replace $U$ with $U(r_3)$ and then select \textbf{New Definition} as before. In other words, it is not necessary to first expand the definition for $U(r_3)$ before defining $% Q(r_3) $. \end{description} \hfill \emph{\underline{Result}} : \[ Q(r_{3})=U(r_{3})(T_{w}-T_{a})2\pi r_{1}L \] \[ Q(r_{3})=2h_{w}k_{m}k_{s}r_{3}\frac{h_{a}}{k_{m}k_{s}r_{3}h_{a}+\left( \ln% \frac{r_{2}}{r_{1}}\right) r_{1}h_{w}k_{s}r_{3}h_{a}+\left( \ln \frac{r_{3}}{% r_{2}}\right) r_{1} h_{w} k_{m} r_{3} h_{a}+r_{1} h_{w} k_{m}k_{s}}% \allowbreak \left(T_{w}-T_{a}\right) \pi r_{1}L \] \hfill \begin{description} \item[Exercise 3.] \hspace{2pt} Find an expression for the derivative of $Q$ with respect to $r_{3}$.\\[2pt] \textsl{\underline{SNB\ Instructions}}\/ : The object here is to simply write $Q\,^{\prime}(r_3)$ and select \textbf{Maple + Evaluate}. SNB will use the function definitions created in the previous exercises to evaluate the derivative with respect to the variable $r_3$. \end{description} \hfill \emph{\underline{Result}} : \[ Q\,^{\prime}(r_3) = \allowbreak -2h_{w}^{2}k_{m}^{2}k_{s}h_{a}\left( T_{w}-T_{a}\right) \pi r_{1}^{2}L\frac{-k_{s}+r_{3}h_{a}}{\left( k_{m}k_{s}r_{3}h_{a}+\left( \ln\frac{r_{2}}{r_{1}}\right) r_{1}h_{w}k_{s}r_{3}h_{a}+\left( \ln \frac{r_{3}}{r_{2}} \right) r_{1}h_{w}k_{m}r_{3}h_{a}+r_{1}h_{w}k_{m}k_{s}\right) ^{2}} \] \hfill \begin{description} \item[Exercise 4.] \hspace{2pt} Determine the value of $r_{3}$ at which the derivative of $Q$ vanishes.\\[2pt] \textsl{\underline{SNB\ Instructions}}\/ : Though you should be able to solve $Q\,^{\prime}(r_3)=0$ by inspection, you can also have SNB find the exact solution. First convert the expression from exercise 3 into an equation by appending $=0$ to the expression. Now select the entire equation and choose \textbf{Maple + Solve + Exact}, specifying $r_3$ as the variable you wish to solve for. \end{description} \hfill \emph{\underline{Result}} : \[ \allowbreak -2h_{w}^{2}k_{m}^{2}k_{s}h_{a}\left( T_{w}-T_{a}\right) \pi r_{1}^{2}L\frac{-k_{s}+r_{3}h_{a}}{\left( k_{m} k_{s} r_{3} h_{a}+\left( \ln% \frac{r_{2}}{r_{1}}\right) r_{1} h_{w} k_{s} r_{3} h_{a} + \left( \ln \frac{% r_{3}}{r_{2}}\right) r_{1}h_{w}k_{m} r_{3} h_{a}+r_{1}h_{w}k_{m}k_{s}\right) ^{2}} = 0 \] \[ \text{Solution is}\;: \left\{ r_{3}=\frac{k_{s}}{h_{a}}\right\} \] \hfill \begin{description} \item[Exercise 5.] \hspace{2pt} Verify that the extremum found above is a maximum by checking the sign of the second derivative. Have SNB do the work of deriving the second derivative, but you must offer a reasonable explanation as to why the second derivative has a particular sign at the critical point determined in exercise 4.\\[2pt] \textsl{\underline{SNB\ Instructions}}\/ : One approach is to have SNB evaluate $Q\,^{\prime\prime}(r_3)$ in the same way you evaluated the first derivative in exercise 3, saving the result as a new function, say $S(r_3)$. This function can then be evaluated with $r_3$ set to the value of the critical point determined in exercise 4. A more direct approach is to substitute the critical value of $r_3$ before evaluating the second derivative. This should yield the same result and avoids the extra effort of defining another function. \end{description} \hfill \emph{\underline{Result}} : \[ Q^{\prime \prime }(k_{s}/h_{a}) = \allowbreak -2h_{w}^{2}k_{m}^{2}k_{s}h_{a}^{2}\left( T_{w}-T_{a}\right) \pi r_{1}^{2} \frac{L}{\left( k_{m}k_{s}^{2}+\left( \ln \frac{r_{2}}{r_{1}}\right) r_{1}h_{w}k_{s}^{2}+\left( \ln \frac{k_{s}}{h_{a}r_{2}}\right) r_{1}h_{w}k_{m}k_{s}+r_{1}h_{w}k_{m}k_{s}\right) ^{2}} \] \begin{description} \item Since we are assuming $T_w > T_a$ and all the parameters are positive quantities, it is clear that $Q\,^{\prime\prime}(k_s/h_a) < 0$ and the extremum at $k_s/h_a$ is a relative maximum for the heat transfer function $% Q(r_3)$. \end{description} \hfill \subsubsection{Insight from mathematics} In this section we arrive at the same result by working with the function $% (r_1U(r_3))^{-1}$ expressed in equation \lbrack2\rbrack, which is considerably easier to analyze than $Q(r_3)$. Moreover, this function has some physical relevance as an overall \emph{thermal resistivity} for the system. These exercises also illustrate how one can use an applied problem to motivate more general mathematical results (for example, see exercises 6 and 8). \hfill \begin{description} \item[Exercise 6.] \hspace{2pt} Given a function $f\,(x)$ define a second function $g(x)$ as its reciprocal, $g(x) = 1/f\,(x)$. Suppose that $g(x)$ has a local minimum at $x = a$ with $g(a) > 0$. Show that the original function $f\,(x)$ has a local maximum at $x = a$.\\[2pt] \textsl{\underline{Hint}}\/: \hspace{2pt} Calculate $f\,^{\prime}(a)$ and $% f\,^{\prime\prime}(a)$. \end{description} \hfill \emph{\underline{Result}} : \begin{description} \item Computing the first and second derivatives, \[ f\,(x) = \frac{1}{g\,(x)} \,\longrightarrow\, f\,^{\prime}(x)=\frac{% -g\,^{\prime }(x)}{g^{2}(x)} \,\longrightarrow\, f\,^{\prime\prime}(x) = \frac{-g^{2}(x)g\,^{\prime\prime}(x) + 2g(x)(g\,^{\prime}(x))^{2}}{g^{4}(x)}% \,. \] Evaluating the derivatives at $x=a$, \[ f\,^{\prime }(a) = \frac{-g\,^{\prime }(a)}{g^{2}(a)} = 0\,, \] \[ f\,^{\prime\prime}(a) = \frac{-g^{2}(a)g\,^{\prime\prime}(a) + 2g(a)(g\,^{\prime}(a))^{2}}{g^{4}(a)} = \frac{-g\,^{\prime\prime}(a)}{% g^{2}(a)} < 0\,, \] since $g\,^{\prime\prime}(a) > 0$ at a relative minimum and $g^{2}(a) > 0$. \[ f\,^{\prime }(a)=0 \text{ \ and \ } f\,^{\prime\prime}(a) < 0 \; \Longrightarrow \; f\,(x) \text{ \ has local max at } x = a \text{.} \] \end{description} \hfill Mathematically the function $(r_1U(r_3))^{-1}$ is easier to analyze than the original heat transfer function $Q(r_3)$ which will have a more complicated algebraic formulation. The result in the previous exercise shows that it is possible to answer our original question by looking for local minima in the function $(r_1U(r_3))^{-1}$ rather than working directly with $Q(r_3)$. \hfill \begin{description} \item[Exercise 7.] \hspace{2pt} Observe that the equation for $% (r_1U(r_3))^{-1}$ in \lbrack2\rbrack\ can be expressed in the form $C + A\ln r_3 + B/r_3$, where $A>0$, $B>0$, and $C$ are constants. For example, the constant $B$ is just $1/h_a$. Express the constants $A$ and $C$ in terms of the parameters appearing in equation \lbrack2\rbrack.\\[2pt] \textsl{\underline{Hint}}\/ : Remember that $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$. \end{description} \hfill \emph{\underline{Result}} : \begin{description} \item \[ \begin{array}{lcl} \dfrac{1}{r_{1}U} & = & \dfrac{1}{r_{1}h_{w}}+\dfrac{1}{k_{m}} \ln\left(% \dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right) + \dfrac{1}{k_{s}} \ln\left(\dfrac{r_{3}}{r_{2}}% \right) + \dfrac{1}{r_{3}h_{a}}\medskip \\ & = & \dfrac{1}{r_{1}h_{w}}+\dfrac{1}{k_{m}} \ln\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}% \right) - \dfrac{1}{k_{s}}\ln r_2 + \dfrac{1}{k_{s}}\ln r_{3} + \dfrac{1}{% r_{3}h_{a}}% \end{array} \] \[ C = \frac{1}{r_{1}h_{w}}+\frac{1}{k_{m}} \ln\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right) - \frac{1}{k_{s}}\ln r_2 \] \[ A = \frac{1}{k_{s}} \] \[ B = \frac{1}{h_{a}} \] \end{description} \hfill \begin{description} \item[Exercise 8.] \hspace{2pt} Now investigate the extrema for the function $h(x) = A\ln x + B/x$ where $A$ and $B$ are positive constants. (\emph{Why} can we ignore the constant $C$ in looking for extrema?) In the space below overlay the graphs of $y=h(x)$ in the domain $x > 0$ by keeping $B=1$ fixed and varying $A$ over four different values, $A = 1,2,5,10$. \emph{Describe} what you observe from the graphs regarding relative extrema in these four graphs. To make it easier for the TAs to evaluate your graphs, please set the Plot Properties as described below in the \textit{SNB Instructions}.\\[% 2pt] \textsl{\underline{SNB\ Instructions}}\/ : From the \textbf{Plot Components} tab under \textbf{Plot Properties} set the \textbf{Domain Intervals} to $% [0,3]$ and set \textbf{Sample Size} to 61 points (20 points per unit interval). Going to the \textbf{View} tab and under the section labeled \textbf{View Intervals}, set the axis limits to $0 \leq x \leq 3$ and $-15 \leq y \leq 15$. Note that after drawing the first graph, the remaining graphs can be easily added directly from the \textbf{Plot Components} tab. \end{description} \hfill \emph{\underline{Result}} : \begin{center} \FRAME{itbpF}{3in}{2.0003in}{0in}{}{}{Plot}{\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 3in;height 2.0003in;depth 0in;display "USEDEF";plot_snapshots TRUE;function \TEXUX{$\ln x+1/x$};linecolor "Blue";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "Point";function \TEXUX{$2\ln x+1/x$};linecolor "Black";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "Point";function \TEXUX{$5\ln x+1/x$};linecolor "Black";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "Point";function \TEXUX{$10\ln x+1/x$};linecolor "Red";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "Point";xmin "0";xmax "3";xviewmin "0.000000";xviewmax "3";yviewmin "-15";yviewmax "15";viewset"XY";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype 4;labeloverrides 1;x-label "radius";numpoints 61;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};valid_file "T";tempfilename 'FM11PL0N.wmf';tempfile-properties "XPR";}} \hspace{5pt} $% \begin{array}[b]{ll} \ln x+1/x & \text{(Blue)} \\ 2\ln x+1/x & \\ 5\ln x+1/x & \\ 10\ln x+1/x\hspace{5pt} & \text{(Red)} \\ \medskip & \\ \medskip & \end{array}% $ \end{center} \begin{description} \item There appears to be one minimum in each of the functions. As $A$ increases the minimum becomes sharper and moves toward $x=0$. \end{description} \hfill \begin{description} \item[Exercise 9.] \hspace{2pt} Verify that for any positive constants $A$ and $B$, there is exactly one relative extremum for the function $A\ln r_3 + B/r_3$ and that it is a minimum. Express the location of the minimum first in terms of $A$ and $B$, and then in terms of the parameters in equation \lbrack2\rbrack. Check this result against your result from exercise 4. \end{description} \hfill \emph{\underline{Result}} : \begin{description} \item \[ h\,^{\prime}(r_3) = \frac{A}{r_3} - \frac{B}{r^2_3} \] \[ h\,^{\prime\prime}(r_3) = -\frac{A}{r^2_3} + 2\frac{B}{r_3^3} \] Solving $h\,^{\prime}(r_3) = 0$ leads to \emph{exactly one solution}, $r_3 = B/A$. Substituting $A = 1/k_{s}$ and $B = 1/h_{a}$ from exercise 7, \[ r_3 = \frac{k_{s}}{h_{a}}. \] Evaluating the second derivative at the critical point, \[ h\,^{\prime\prime}(B/A) = -\frac{A}{(B/A)^2} + 2\frac{B}{(B/A)^3} = \frac{A^3% }{B^2} > 0. \] The positive second derivative confirms that $r_3 = B/A$ is a relative minimum. \end{description} \hfill \subsubsection{Conclusions} As a result of our analysis in the previous sections, we can count ourselves in possession of a little known and counter-intuitive fact, namely that the addition of insulation may result in additional heat losses. If the extremum identified by our analysis occurs at a value of $r_3 > r_2$, adding insulation to the pipe will initially increase the heat losses. \qquad The analysis in exercises 6-9 is intended to help clarify what is driving this result. The increasing function $A\ln r_3$ is associated with the increased thermal resistivity which comes from adding more insulation. The decreasing function $B/r_3$ is associated with the decrease in thermal resistance due to larger surface area as the outer radius of the insulation increases. You should have been able to express the location of the minimum in terms of the ratio $B/A\,$, a convenient characterization in terms of the relative strengths of these two competing physical effects. \qquad The analysis using the thermal resistivity also makes it clear that as the thickness of insulation continues to increase, the insulating effects eventually dominate the increased losses due to the larger surface area and the total heat loss, $Q$, always begins to decrease. \hfill \begin{description} \item[Exercise 10.] \hspace{2pt} An engineer asks if your result has practical implications. Consider the case where $h_{a}$ is independent of $% r_{3}$ and note that typical values of $h_{a}$ and $k_{s}$ are 10 Btu/(ft$% ^{2}$ hr$^{o} $F) and 0.1 Btu/(ft hr $^{o}$F) respectively. How will you respond? \end{description} \hfill \emph{\underline{Result}} : \begin{description} \item Calculating the diameter at the critical value of $r_3$, \[ 2r_3 = 2\frac{k_s}{h_a} \,=\, 2\frac{0.1}{10} \,=\, = 0.02\,\text{ft} \,=\, 0.02\cdot12 = 0.24\,\text{inches} \] For typical values of $h_a$ and $k_s$, it appears that this phenomenon is only present if the outer diameter of the pipe is quite small. \end{description} \hfill \subsection{Acknowledgment} This project was contributed by Professor George DeLancey of the Chemical Engineering Department. The Department of Mathematical Sciences would like to thank him for his efforts. \hfill \subsection{Appendix A -- Theory} Heat is a form of energy, and energy is important for us because it is conserved. Energy conservation is a principle that can support a quantitative analysis. Think of a meteorite flying through our atmosphere at high speeds. It has kinetic energy because it is moving, potential energy because of its height in our gravitational field \emph{AND} thermal or internal energy because it is hot. Heat transfer refers to the exchange of thermal energy. Energy is transferred as heat from a hotter material to a colder material. Very often the exchanges of kinetic and potential energy are relatively unimportant when the transfer of thermal energy is of concern. Kinetic and potential energy will therefore be neglected in the discussion of energy given below. \qquad In an insulated pipe, thermal energy is transferred radially from the inside fluid, i.e., hot water, through the pipe wall, through the insulation and finally into the surrounding air. A schematic of an insulated pipe is shown below: \FRAME{dtbpFU}{322.1875pt}{209.875pt}{0pt}{\Qcb{\textbf{Section of insulated pipe carrying hot water}}}{}{Figure }{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "T";width 322.1875pt;height 209.875pt;depth 0pt;original-width 308.9375pt;original-height 200.5625pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename 'pipe.wmf';tempfile-properties "XNPR";}} Energy is ``transferred'' in two ways for the problem at hand: \begin{itemize} \item \qquad Conduction is the mechanism that applies to the transfer of energy from a hot body to a cold body when they are placed in contact without intermixing. It is the only mechanism in solids and applies throughout the pipe ($r_{1}$to $r_{2}$) and insulation ($r_{2}$ to $r_{3}$) regions in our problem where there is a gradual decrease in \ temperature with radial position. When two bodies reach equilibrium, they are at the same temperature and there is no exchange of energy. Temperature, $T$, is therefore a potential for energy transfer. Energy flows down hill as mass does in the gravitational field. We write the flux of energy $q_{r}$ in a direction $r$ as proportional to the gradient of temperature in that direction: \begin{equation} q_{r}=-k\frac{dT}{dr} \tag{\lbrack A1\rbrack} \end{equation} \qquad The proportionality constant, $k$, is a property of the medium called the \textit{thermal conductivity}. Metals, such as the pipe, conduct heat better than insulators and therefore have a higher conductivity. The flux is a rate per unit area perpendicular to the $r$ direction. Increasing the area will increase the rate of energy transfer (can you argue in favor of this?) proportionally so that the basis of a unit area is appropriate. The root of our problem is the increase in external surface area with additional insulation. \qquad If we think of hot water inside a pipe, the thermal energy flux in the radial direction at a point inside the pipe wall can be expressed by Equation \lbrack A1\rbrack. \ The same equation applies to the insulation region if we change the value of the thermal conductivity accordingly. A\ similar expression\ would apply in the direction along the axis of the pipe but we are considering only radial transfer. The axial (direction of flow) temperature gradients are much less than the radial ones and will be neglected (see discussion of $L$ below). \item \qquad A second way that energy can be transferred is by a moving fluid. Hot water carries thermal energy to the pipe wall and cool air sweeps away thermal energy from the outside surface of the insulation. We call this mechanism convection. The convective flux, $q$, of thermal energy from a point $a$ to a point $b$ is expressed as a proportionality to the temperature difference in the direction of the convective energy flux: \begin{equation} q=h(T_{a}-T_{b}) \tag{\lbrack A2\rbrack} \end{equation} \item \qquad The proportionality constant, $h$, is called a \textit{heat transfer coefficient}. It depends on the properties of the medium between $a$% \ and $b$ and also on the flow characteristics in that region. Convection inside the pipe is the \ primary mechanism by which energy is transferred from the fluid (at ``$T_{a}$'') to the inside pipe wall (at ``$T_{b}$''). Convection is also the primary mechanism by which thermal energy is removed from the outside insulation surface (at ``$T_{a}$'') to the surrounding air (at ``$T_{b}$''). \item \qquad Another mechanism of energy transfer is by radiation which is not important here. \end{itemize} \qquad The heat transfer problem is to describe the means by which the convected energy arriving at the inside pipe wall at $r_{1}$ is transferred through the pipe wall and insulation and ultimately convected away from the outside surface at $\ r_{3}$. When conduction is the only mechanism of energy transfer, as is the case here in the pipe wall and insulation, the steady-state (time-independent) solution satisfies the differential equation, \begin{equation} \frac{d}{dr}\left( 2\pi rLk\frac{dT}{dr}\right) = 0 \tag{\lbrack A3\rbrack} \end{equation} \qquad Equation \lbrack A3\rbrack\ is simply conservation of energy along with the assumption that the temperature depends only on the radial direction $r$. That is, we assume there is no temperature variation in the $% \theta$ direction and that any temperature variation in the hot water over the length $L$ resulting from the energy losses is negligible. If the insulation is good, we can find an $L$\ to make this assumption reasonable. Under these assumptions, the conservation of energy states that the energy transfer rate along the radial direction must be constant, as expressed in equation \lbrack A3\rbrack. \hfill \begin{description} \item[Exercise A1.] \hspace{2pt} Show that the function $T(r) = C_1 + C_2\ln r$ satisfies equation \lbrack A3\rbrack, where $C_1$ and $C_2$ are arbitrary constants. \end{description} \hfill \hfill \qquad Solving equation \lbrack A3\rbrack\ in the pipe wall with thermal conductivity $k_{m}$ gives $T(r) = C_1 + C_2 \ln r$ for $r_1 < r < r_2$, and within the insulation with thermal conductivity $k_{s}$, we get a second function $T(r) = C_3 + C_4 \ln r$ for $r_2 < r < r_3$. The four arbitrary constants $C_1,...,C_4$ are uniquely determined by specifying certain boundary conditions at the interfaces $r_1, r_2$, and $r_3$. Conservation of energy requires that the energy flux be continuous at each boundary. At $% r_{2}$ we impose that the temperature is also continuous across the interface. The boundary conditions at $r_2$ take the form, \begin{equation} T(r_2^-) = T(r_2^+) \hspace{50pt} k_m \frac{dT}{dr}(r_2^-) = k_s \frac{dT}{dr% }(r_2^+) \tag{\lbrack A4\rbrack} \end{equation} At the boundaries $r_{1}$ and $r_{3}$ the convective flux must match up continuously with the conductive flux. The boundary condition at $r_1$ takes the form, \begin{equation} h_w [T_w - T(r_1^+)] = -k_s \frac{dT}{dr}(r_1^+) \tag{\lbrack A5\rbrack} \end{equation} and a similar equation holds at $r_3$. Evaluating the two functions $T(r)$ at each of the boundaries leads to a system of four linear algebraic equations. For example, at $r_2$ we get the two equations, \[ C_1 + C_2 \ln r_2 = C_3 + C_4 \ln r_2 \,, \] \[ k_m C_2 / r_2 = k_s C_4 / r_2 \,. \] Taken together, these four boundary conditions uniquely determine the constants $C_1,...,C_4$. \hfill \subsection{Appendix B -- Further Questions} But wait a minute ! \hfill \begin{description} \item[Exercise B1.] \hspace{2pt} Suppose that an astute engineer objects to your result on the experimental grounds that $h_{a}$ (the convective heat transfer coefficient from the outside surface of the insulation to the air) is not constant but depends on $r_{3}$ : $h_{a}=A/\sqrt{r_{3}}$ , where $A$ is a constant. Does your conclusion change and how? \end{description} \hfill \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/ws2_sol.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/pipe.wmf %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% WwlqZB@@@@@@@lfJInA{I@@@@@`JBI@@I@@@CPoG@@@B@T`@@@@@@P@@@@p@A`@@E@@@@l`@EAp [@T@@@@@CBtT@AHPAB@@@wC@@C@P@@@@@@@H@@@@@@B@@@BH@@@@@@B@`@@H@@@H`@@Lp@C@p\C L@fjL|@xn{nCPw]wM@LsLs@l{n{B`jjjJ@YfYf@`HbHBp]w]G@fYfY@TUUUA@QDQD@sLsL@HbHb @PDQDA@Os@|YBp[F@L@|OsCpLsL@s\f@|OsfApLOC@sL@@|_fCpYrL@gYf @|_ffApYNC@gI@@|oYCpfqL@[Vf@|oYfApfMC@[F@@|LCpspL@OSf@|LfApsLC @OC@@|O@LCp@dI@C`Y@|O@s@@sO@LOs@p|YB@s[F@LL@p|@@@sLO@Ls\f@pLsfA @sLOC@LsL@@p\fC@sYrL@LgYf@p\ffA@sYNC@LgI@@plYC@sfqL@L[Vf@plYfA@sfMC@L[F@@ p|LC@sspL@LOSf@p|LfA@ssLC@LOC@@pL@C@s@pL@LCPf@pL@fA@s@LC@Y~@dyLCPfgI@ Y~oY@dys@PfC@@Yr|@dIsLCPfLgI@YrlY@dIss@PfLC@@Yfy@dYfLCPfYZF@YfyL@dYf@@P ff}O@YZFs@diYYBPffYF@YZvL@diY@@Pfs|O@YNCs@dyLYBPfsXF@YNsL@dyL@@Pf@|O@YB@s@d I@YBPf@XF@YBpL@XvC`YsL@f}_f@XvfA`YOC@f}O@@XFsC`YLsL@fq\f@XFsfA`YLOC@f 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