%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % Scientific Word Wrap/Unwrap Version 2.5 % % Scientific Word Wrap/Unwrap Version 3.0 % % % % If you are separating the files in this message by hand, you will % % need to identify the file type and place it in the appropriate % % directory. The possible types are: Document, DocAssoc, Other, % % Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files % % tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file % % directory. Macro files go into your TeX macros directory. Style % % files are used by Scientific Word and do not need to be extracted. % % Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a % % graphics directory. % % % % Graphic files need to be converted from the text format (this is % % done for e-mail compatability) to the original 8-bit binary format. % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % Files included: % % % % "/document/ma115_final_99f_v8_sol.tex", Document, 19907, 12/15/1999, 0:41:30, ""% % "/document/FMRART00.wmf", PastePict, 78220, 11/23/1999, 1:32:24, "" % % "/document/FMRART01.wmf", PlotPict, 7948, 11/25/1999, 22:39:36, "" % % "/document/graphics/FMRART02.wmf", PlotPict, 6970, 12/10/1999, 14:50:20, ""% % "/document/FMRART03.wmf", PlotPict, 8794, 12/10/1999, 14:53:04, "" % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%% Start /document/ma115_final_99f_v8_sol.tex %%%%%%%%%%%%% %% This document created by Scientific Notebook (R) Version 3.0 \documentclass[12pt,thmsa]{article} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage{sw20jart} %TCIDATA{TCIstyle=article/art4.lat,jart,sw20jart} %TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL} %TCIDATA{Created=Mon Aug 19 14:52:24 1996} %TCIDATA{LastRevised=Tuesday, December 14, 1999 19:41:29} %TCIDATA{} %TCIDATA{Language=American English} %TCIDATA{CSTFile=webmath.cst} %TCIDATA{PageSetup=72,72,72,72,0} %TCIDATA{MathDefs= %$f\left( u\right) =-\frac{1}{3}\sqrt[3]{u}\frac{-\cos \pi \sqrt[3]{u}+\sqrt[3% %]{u}\left( \sin \pi \sqrt[3]{u}\right) \pi }{u}$ %} %TCIDATA{AllPages= %H=36,\PARA{038

\QTR{normalsize}{Name: \hspace*{6cm} SSN: \hspace*{4.5cm} Instructor: }} %F=36,\PARA{035

\thepage } %} \input{tcilatex} \begin{document} \section{MA 115\qquad \qquad \qquad FINAL EXAM\qquad \qquad \qquad 12/15/99} \hfill \subsection{{\protect\normalsize I pledge my honor that I have abided by the Stevens Honor System. \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\\[10pt] SHOW ALL WORK! You may not use a calculator on this exam. If you need more work space, then continue the problem you are doing on the \protect% \underline{other side of the page it is on.} }} \hfill \hfill \begin{center} {\large \textbf{{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }% \begin{tabular}{cc} Problem & Score \\ 1 & \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\ 2 & \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\ 3 & \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\ 4 & \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\ 5 & \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\ 6 & \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\ 7 & \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\ 8 & \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\ & \\ Total & \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_% \end{tabular}% }} {\large \textbf{\hspace{1in} }} \end{center} {\large \textbf{\newpage }} \begin{description} \item[I (30 pts., 6 each part)] \hspace{1pt} Find $\dfrac{dy}{dx}$ if \item[a)] \hspace{1pt} $y=\sqrt{(x+1)(x^{2}+1)}$ $\dfrac{d}{dx}\sqrt{(x+1)(x^{2}+1)}=\allowbreak \dfrac{1}{2\sqrt{\left( \left( x+1\right) \left( x^{2}+1\right) \right) }}\left( 3x^{2}+1+2x\right) $ \item[b)] \hspace{1pt} $y=\dint_{x}^{1}\sqrt{5-4\sin ^{2}\left( t\right) }% \,dt$ $\dfrac{d}{dx}\dint_{x}^{1}\sqrt{5-4\sin ^{2}\left( t\right) }\,dt=-\dfrac{d% }{dx}\int_{1}^{x}\sqrt{5-4\sin ^{2}\left( t\right) }\,dt=-\sqrt{5-4\sin ^{2}\left( x\right) }$ \item[c)] \hspace{1pt} $y=5^{\tan 4x^{2}}$ \end{description} $\dfrac{d}{dx}\left( 5^{\tan 4x^{2}}\right) =\allowbreak 8\left( 5^{\tan 4x^{2}}\left( \sec ^{2}4x^{2}\right) x\ln 5\right) $\pagebreak \begin{description} \item[I (6 pts each part)] \hspace{1pt} \item[d)] \hspace{1pt} $y=\arcsin \left(e^{1/x}\,\right)$ $\dfrac{d}{dx}\arcsin \left( e^{\dfrac{1}{x}}\right) =\allowbreak -\dfrac{1}{% x^{2}}\dfrac{e^{\dfrac{1}{x}}}{\sqrt{\left( 1-e^{\frac{2}{x}}\right) }}$ \item[e)] \hspace{1pt} Given that \[ \sinh u=\dfrac{e^{u}-e^{-u}}{2}, \]% find the derivative of $\sinh \left( \sec x\right) $. \end{description} \pagebreak $\dfrac{d}{dx}\left( \sinh \left( \sec x\right) \right) =\allowbreak \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{e^{\sec x}-e^{-\sec x}}{2}\right) =% \dfrac{1}{2}\left( e^{\sec x}\left( \sec x\tan x\right) +e^{-\sec x}\left( \sec x\tan x\right) \right) $ \begin{description} \item[II (30 pts., 6 each part)] \hspace{1pt} Evaluate the following integrals. \item[a)] \hspace{1pt} $\dint \dfrac{x^{2}-1}{x+1}e^{(x-1)^{2}}\,dx$ $\int \dfrac{x^{2}-1}{x+1}e^{(x-1)^{2}}\ dx.$ \ First simplify to get $\int \dfrac{\left( x-1\right) \left( x+1\right) }{x+1}e^{(x-1)^{2}}\ dx=\int \left( x-1\right) e^{(x-1)^{2}}\ dx$ \ \ Now, use the substitution $% u=(x-1)^{2},$ $du=2(x-1)\,dx$ ,\ \ with the adjustment $\dfrac{1}{2}% du=(x-1)dx.$ \ Substitute and apply the $\int e^{x}dx=e^{x}+C$ rule. \end{description} \begin{eqnarray*} \int \left( x-1\right) e^{(x-1)^{2}}\ dx\ &=&\int e^{(x-1)^{2}}\ \left( x-1\right) \,dx\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\int e^{u}\,du \\ &=&\dfrac{1}{2}e^{u}+C \\ &=&\dfrac{1}{2}e^{\left( x-1\right) ^{2}}+C \\ && \end{eqnarray*} \begin{description} \item[b)] \hspace{1pt} $\dint \dfrac{x}{\sqrt{1-3x^{4}}}dx$ \end{description} Rewrite $\dint \dfrac{x}{\sqrt{1-3x^{4}}}dx=\dint \dfrac{x}{\sqrt{1-\left( \sqrt{3}x^{2}\right) ^{2}}}dx$ \ \ Use the substitution $u=x^{2},$ $du=2x\,dx $, with the adjustment $\dfrac{1}{2}du=x\,dx.$ \ Substitute and apply the $% \int \dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du=\sin ^{-1}u+C$ rule. \[ \dint \dfrac{x}{\sqrt{1-3x^{4}}}dx=\allowbreak \frac{1}{6}\sqrt{3}\arcsin \sqrt{3}x^{2}+C \] \pagebreak \begin{description} \item[II (6 pts each part)] \hspace{1pt} \item[c)] \hspace{1pt} $\dint_{0}^{\pi/2} \dfrac{\cos x}{1+\sin ^{2}x}\,dx$ Use the substitution $u=\sin x,$ $du=\cos x\,dx.$ \ Substitute and apply the $\dint \dfrac{1}{1+u^{2}}\,du=\tan ^{-1}u+C$ \end{description} rule. \begin{eqnarray*} \int \dfrac{\cos x}{1+\sin ^{2}x}\,dx &=&\int \dfrac{1}{1+\sin ^{2}x}\,\cos x\,dx \\ &=&\int \dfrac{1}{1+u^{2}}\,du \\ &=&\int \tan ^{-1}u\,\,du \\ &=&\tan ^{-1}\left( \sin x\right) +C \end{eqnarray*} Thus $\dint_{0}^{\frac{\pi }{2}}\dfrac{\cos x}{1+\sin ^{2}x}\,dx=\tan ^{-1}\left( \sin \frac{\pi }{2}\right) -\tan \left( \sin 0\right) =\allowbreak \frac{1}{4}\pi $ \begin{description} \item[d)] \hspace{1pt} $\dint \dfrac{x^{2}+12x-4}{x^{3}-4x}dx$ \[ \dfrac{x^{2}+12x-4}{x^{3}-4x}=\allowbreak \dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{% 3}{x+2} \] \item $\dint \dfrac{x^{2}+12x-4}{x^{3}-4x}\,dx=\dint \dfrac{1}{x}\,dx+\dint \dfrac{3}{x-2}\,dx-\dint \dfrac{3}{x+2}\,dx$ \end{description} $\quad =\ln x+3\ln \left( x-2\right) -3\ln \left( x+2\right) +C$ \begin{description} \item[e)] \hspace{1pt} $\dint \dfrac{1}{x^{2}-4x+13}dx$ \end{description} $\dfrac{1}{x^{2}-4x+13}=\dfrac{1}{\left( x-2\right) ^{2}+9}=\dfrac{1}{\left( x-2\right) ^{2}+3^{2}},$ so $\dint \dfrac{1}{x^{2}-4x+13}dx=\dint \dfrac{1}{\left( x-2\right) ^{2}+3^{2}}% dx=\dfrac{1}{9}\dint \dfrac{1}{\left( \dfrac{x-2}{3}\right) ^{2}+1}% dx=\allowbreak \dfrac{1}{3}\arctan \left( \dfrac{x-2}{3}\right) +C$% \pagebreak \begin{description} \item[III (30 pts., 10 each part)] \hspace{1pt} \item[a)] \hspace{1pt} The radius $r$ of an expanding solid cylinder (with a top and a bottom) is \textit{increasing} at the rate of $3\,$cm/sec, and its height $h$ is \textit{decreasing} at the rate of $2\,$cm/sec. \begin{description} \item[(i)] \hspace{1pt} Find the rate of change of the volume of the cylinder when the radius is $4\,$cm and the height $5\,$cm. \hspace{5pt} (The volume of a cylinder is $\pi r^{2}\,h$\/.) $V=\pi r^{2}h\qquad \Rightarrow \dfrac{dV}{dt}=\pi \lbrack r^{2}\frac{dh}{dt}% +2rh\frac{dr}{dt}]=88\pi $cm$^{3}$/s \item[(ii)] \hspace{1pt} Find the rate of change of the surface area of the cylinder at that instant (i.e., when $r=4\,$cm and $\,h=5\,$cm). Surface Area$=$ $2\pi r^{2}+2\pi rh\qquad \Rightarrow \dfrac{dA}{dt}=4\pi r% \dfrac{dr}{dt}+2\pi \lbrack r\dfrac{dh}{dt}+h\dfrac{dr}{dt}]=62\pi $cm$^{2}$% /s \end{description} \item[b)] \hspace{1pt} Find the value of $\arcsin (\sin \pi )$. Justify your answer. \end{description} $\arcsin (\sin \pi )=0$, [Range of $y=\arcsin (x)$ is $\frac{-\pi }{2}\leq y\leq \frac{\pi }{2}$].\pagebreak \begin{description} \item[IV (30 pts., 10 each part)] \hspace{1pt} \item[a)] \hspace{1pt} Find a vector which is normal to the plane containing the three points $P_{1}=(-1,1,-1)$, $P_{2}=(1,-1,2)$, and $P_{3}=(4,0,3)$, and determine the equation of the plane. \item \[ \overrightarrow{P_{1}P_{2}}=(2,-2,3)=2\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}% +3\overrightarrow{k}\,,\hspace{20pt}\overrightarrow{P_{1}P_{3}}=(5,-1,4)=5% \overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k} \] \[ \overrightarrow{n}=\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\times \overrightarrow{% P_{1}P_{2}}=\left| \begin{array}{rrr} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ 2 & -2 & 3 \\ 5 & -1 & 4% \end{array} \right| =-5\overrightarrow{i}+7\overrightarrow{j}+8\overrightarrow{k}% =(-5,7,8) \] The plane is the set of points $\{P=(x,y,z)\;|\;\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{P_{1}P}=0\}$. \[ (-5,7,8)\cdot (x+1,y-1,z+1)=0 \]% \[ -5x+7y+8z-5-7+8=0 \]% \[ -5x+7y+8z-4=0 \] \item[b)] \hspace{1pt} Consider the three vectors \[ \begin{array}{l} \vec{a}\,=\,(2,-1,1)\,=\,<2,-1,1>\,=\,2\vec{i}-\vec{j}+\vec{k} \\ \vec{b}\,=\,(1,2,-1)\,=\,<1,2,-1>\,=\,\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k} \\ \vec{c}\,=\,(1,1,2)\,=\,<1,1,2>\,=\,\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}.% \end{array}% \]% Find a unit vector which is perpendicular to $\vec{a}$ and which lies in the plane containing $\vec{b}$ and $\vec{c}$. \item Let $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}$ which is a vector normal to the plane containing $\overrightarrow{b}$ and $% \overrightarrow{c}$. The vector $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{n}$ is perpendicular to $\overrightarrow{a}$ as required, and, because it is perpendicular to $\overrightarrow{n}$, must also lie in the plane containing $\overrightarrow{b}$ and $\overrightarrow{c}$. The unit vector is obtained by taking $\overrightarrow{v}/|\overrightarrow{v}|$. \item \[ \overrightarrow{n}=\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}=\left| \begin{array}{rrr} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 2% \end{array}% \right| =(5,-3,-1) \]% \[ \overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{n}=\left| \begin{array}{rrr} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 5 & -3 & -1% \end{array}% \right| =(4,7,-1) \] \item \[ |\overrightarrow{v}|=\sqrt{16+49+1}=\sqrt{66}\;\;\longrightarrow \;\;\dfrac{% \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}=\dfrac{(4,7,-1)}{\sqrt{66}} \]% \pagebreak \item[IV (10 pts each part)] \hspace{1pt} \item[c)] \hspace{1pt} Use a scalar projection to show that the distance from a point $P_{1}=(x_{1},y_{1})$ to the line $ax+by+c=0$ is given by, \[ \frac{\left| ax_{1}+by_{1}+c\right| }{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\,. \] \item Let $\left( x_{0},y_{0}\right) $ be any point on the line. (For later reference this implies that $\,ax_{0}+by_{0}+c=0$) Then the vector $\left( x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0}\right) $ starts on the given line and terminates at the point $\left( x_{1},y_{1}\right) $. The magnitude of the projection of this vector onto a direction perpendicular to the line will equal the distance of the point to the line. \end{description} \vspace{1pt}The projection of the vector onto a normal direction equals \[ \dfrac{\left( x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0}\right) \cdot \left( a,b\right) }{% a^{2}+b^{2}}\left( a,b\right) \] and its magnitude is \[ \dfrac{\left| ax_{1}-ax_{0}+by_{1}-by_{0}\right| }{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=% \dfrac{\left| ax+by+c\right| }{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \] \pagebreak \begin{description} \item[V (40 pts., 20 each part)] \hspace{1pt} \item[a)] \hspace{1pt} Of all lines of negative slope through the point $% (1,2)$ in the first quadrant, find the line that cuts from the first quadrant a triangle of least area. \item $m=\dfrac{c-2}{-1}=\dfrac{2}{1-d}$ \end{description} \FRAME{dtbpF}{163.25pt}{94.375pt}{0pt}{}{}{Figure }{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "T";width 163.25pt;height 94.375pt;depth 0pt;original-width 160.375pt;original-height 91.8125pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename 'FMRART00.wmf';tempfile-properties "XPR";}} $\Longrightarrow c=2-\dfrac{2}{1-d}.$ Thus $A=\frac{1}{2}dc=\frac{1}{2}[2-% \dfrac{2}{1-d}]d=\frac{1}{2}[2d-\dfrac{2d}{1-d}]$ $\dfrac{dA}{d(d)}=\frac{1}{2}[2-\dfrac{2}{(1-d)^{2}}]\qquad \Longrightarrow 2=\frac{2}{(1-d)^{2}}\Longrightarrow d=2\qquad \Longrightarrow c=4$ $\Longrightarrow $ the equation of the line is $y=-2x+4$ \vspace{1pt} $\dfrac{d^{2}A}{d(d)^{2}}=\dfrac{-4}{(1-d)^{3}}\qquad \Longrightarrow $ at $% d=2$; $\dfrac{d^{2}A}{d(d)^{2}}>0\qquad \Longrightarrow $ $d=2$ is a min. \pagebreak \begin{description} \item[V (20 pts each part)] \hspace{1pt} \item[b)] \hspace{1pt} Find the maxima, minima, and inflection points of $% f\,(x)=x^{2}e^{x}.$ Sketch the graph. For what values of $x$ is the curve concave up? For what values of $x$ is the function increasing? \item $f^{\prime }=(x^{2}+2x)e^{x}\Longrightarrow x=0,-2;$ \end{description} $\ f^{\prime \prime }=(2+4x+x^{2})e^{x}=0$ \ $\Longrightarrow x=-2\pm \sqrt{2% }($Points of Inflection$).$ $\ $ $f^{\prime \prime }(0)=2>0\Longrightarrow $ \ MIN$\qquad \ f^{\prime \prime }(-2)=\frac{-2}{e^{2}}<0\Longrightarrow $ MAX \vspace{1pt} $f(x)=x^{2}e^{x}$\FRAME{itbpF}{3in}{2.0003in}{0in}{}{}{Plot}{\special% {language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 3in;height 2.0003in;depth 0in;display "USEDEF";plot_snapshots TRUE;function \TEXUX{$x^{2}e^{x}$};linecolor "Black";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "Point";xmin "-5";xmax "1";xviewmin "-5";xviewmax "1";yviewmin "-0.054365501388918E0";yviewmax "2.77373477505601";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype 4;numpoints 49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};valid_file "T";tempfilename 'FMRART01.wmf';tempfile-properties "XPR";}} \pagebreak \begin{description} \item[VI (30 pts., 10 each part)] \hspace{1pt} \item[a)] \hspace{1pt} Determine the \emph{exact} area of the region in the $% xy$-plane satisfying the inequality, \[ 0\leq y\leq \left| \,1-x^{2}\,\right| \hspace{10pt}\text{where }-1\leq x\leq 2\,. \] \item \[ \FRAME{itbpF}{3in}{2.0003in}{0in}{}{}{Plot}{\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 3in;height 2.0003in;depth 0in;display "USEDEF";plot_snapshots TRUE;function \TEXUX{$\left| 1-x^{2}\right| $};linecolor "Blue";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "Point";xmin "-2";xmax "4";xviewmin "-2.000000";xviewmax "4.000000";yviewmin "-1";yviewmax "5";viewset"XY";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype 4;numpoints 49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};valid_file "T";tempfilename 'graphics/FMRART02.wmf';tempfile-properties "XPR";}}% \begin{array}[b]{l} \left| 1-x^{2}\right| \\ \end{array}% \] \item From the sketch, the area is given by, \[ \begin{array}{l} A\;=\;\int_{-1}^{1}(1-x^{2})\,dx\;+\;\int_{1}^{2}(x^{2}-1)\,dx\bigskip \\ A\;=\;2\,\int_{0}^{1}(1-x^{2})\,dx\;+\;\int_{1}^{2}(x^{2}-1)\,dx\bigskip \\ A\;=\;2\,\left. \left( x-\dfrac{x^{3}}{3}\right) \right| _{0}^{1}\;+\;\left. \left( \dfrac{x^{3}}{3}-x\right) \right| _{1}^{2}\bigskip \\ A\;=\;2\,\left( 1-\dfrac{1}{3}\right) \;+\;\left( \dfrac{8}{3}-2\right) \;-\;\left( \dfrac{1}{3}-1\right) \;=\;\dfrac{8}{3}% \end{array}% \] \item[b)] \hspace{1pt} Consider the piecewise function defined by, \[ f\,(x)=\left\{ \begin{array}{lcl} x^{2}-1 & \hspace{10pt} & x\leq 2\smallskip \\ ax+b & & x>2% \end{array}% \right. \]% Determine the constants $a$ and $b$ which make both $f\,(x)$ and $% f\,^{\,\prime }(x)$ continuous on $(-\infty ,\infty )$. \end{description} \[ \lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)\;\Rightarrow \;3=2a+b \]% \[ \lim_{x\rightarrow 2^{-}}f^{\prime }(x)=\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f^{\prime }(x)\;\Rightarrow \;4=a\;\Rightarrow \;b=-5 \]% \pagebreak \begin{description} \item[VI (10 pts each part)] \hspace{1pt} \item[c)] \hspace{1pt} Consider the parametric equations, $x(t) = \sin t\cos t\,$ and $\,y(t) = \sin ^{2}(2t)$. Eliminate the parameter $t$ to find a Cartesian equation of the curve and sketch the curve for $-\infty y=6/5.$ \item[b)] \hspace{1pt} Evaluate $\;\dint \theta \cos ^{2}\theta \sin \theta \,d\theta $. \end{description} $\int \theta \cos ^{2}\theta \sin \theta d\theta =\dfrac{-\theta \cos ^{3}\theta }{3}+\dfrac{1}{3}\int \cos ^{3}\theta d\theta =-\dfrac{1}{3}% \theta \cos ^{3}\theta +\dfrac{1}{3}\int (1-\sin ^{2}\theta )\cos \theta d\theta $ $Ans=-\dfrac{1}{3}\theta \cos ^{3}\theta +\dfrac{1}{3}\sin \theta -\dfrac{1}{% 9}\sin ^{3}\theta +C=-\frac{1}{3}\theta \cos ^{3}\theta +\frac{1}{9}\cos ^{2}\theta \sin \theta +\frac{2}{9}\sin \theta +C$ \pagebreak \begin{description} \item[VIII (10 pts each part)] \hspace{1pt} \item[c)] \hspace{1pt} Find $f\,\left( 8\right) $ if \[ \dint_{0}^{x^{3}}f\,\left( t\right) \,dt=x\cos \pi x \] \item Let $u=x^{3},$ then \item \[ F\left( u\right) =\int_{0}^{u}f\left( t\right) dt=\sqrt[3]{u}\cos \pi \sqrt[3% ]{u} \] \item By the Fundamental Theorem of Calculus \item \[ \dfrac{dF}{du}=f\left( u\right) =\dfrac{d}{du}\left( \sqrt[3]{u}\cos \pi \sqrt[3]{u}\right) \] \item Hence \item \[ f\left( u\right) =-\frac{1}{3}\sqrt[3]{u}\frac{-\cos \pi \sqrt[3]{u}+\sqrt[3]% {u}\left( \sin \pi \sqrt[3]{u}\right) \pi }{u} \] \item Thus $u=8$ implies $f\left( 8\right) =\allowbreak \frac{1}{12}$ \end{description} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%% End /document/ma115_final_99f_v8_sol.tex %%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/FMRART00.wmf %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% WwlqZB@@@@@@@P`E\r@{I@@@@@`VoJ@@I@@@ClKf@@@@@DJf@@@@@P@@@@p@A`@@E@@@@p`@F~_ u@T@@@@pBB@@@@@PhXB@@Am@H@pL@zAPu@@@@@@`aWM@@@@@@`B@@@Pu@@@@zA@@@D@@X@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@p                                                                       O@@@p O@@@p O@@@p         @@@@ @@@@@@ @@@@@@          C@@@|C@@@| C@@@@@@@@@@@@@@@|C@@@|C@@@@@@@@@@@|C@@@|          O@@@p O@@@pO@@@pO@@@pO@@@p O@@@pO@@@p         @@@@ @@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@          C@@@| C@@@|C@@@|C@@@|C@@@|C@@@| C@@@|  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