\hfill \thepage} %} \newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement} \newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm} \newtheorem{case}[theorem]{Case} \newtheorem{claim}[theorem]{Claim} \newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion} \newtheorem{condition}[theorem]{Condition} \newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion} \newtheorem{notation}[theorem]{Notation} \newtheorem{problem}[theorem]{Problem} \newtheorem{solution}[theorem]{Solution} \newtheorem{summary}[theorem]{Summary} \newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}} \input{tcilatex} \begin{document} \section{Ma 116 Lecture 4/12/00} \vspace{1pt} \subsection{Polar Coordinates} Before continuing our discussion of complex analysis we introduce the concept of \emph{polar coordinates. }We shall need polar coordinates in the next section when we deal with the polar representation of a complex number. Given a point $\left( x,y\right) $ in the plane, we may use an alternative representation to locate this point. We draw the line from the origin to $% \left( x,y\right) $ and denote its length by $r.$ We also call the angle that this line makes with the $x$ axis $\theta .$ This is illustrated by the diagram below. \begin{center} \FRAME{dtbpF}{3.0692in}{2.7743in}{0pt}{}{}{polar.bmp}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.0692in;height 2.7743in;depth 0pt;original-width 3.5206in;original-height 3.9998in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/polar.bmp';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} \end{center} It is clear from the picture that \begin{equation*} x=r\cos \theta \text{ \ and \ }y=r\sin \theta \end{equation*} \vspace{1pt} where \begin{equation*} r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\vspace{1pt}\text{ and \ }\theta =\arctan \dfrac{y}{x} \end{equation*} Thus a point in the plane may be specified by an ordered pair $\left( r,\theta \right) .$ The variables $r$ and $\theta $ are called \emph{polar coordinates.} If $r$ is negative, then we plot $\left( \left| r\right| ,\theta \right) $ and then find the corresponding point in the opposite direction, i.e., in the opposite quadrant. \vspace{1pt} \paragraph{Example:} Plot the points $\left( 2,\frac{\pi }{4}\right) $ and $\left( -2,\frac{\pi }{% 4}\right) $. \begin{center} \FRAME{dtbpF}{3.3797in}{3.0545in}{0pt}{}{}{pi_4.bmp}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.3797in;height 3.0545in;depth 0pt;original-width 3.333in;original-height 3.0104in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/pi_4.bmp';file-properties "XNPEU";}} \end{center} There is a fundamental difference between the rectangular representation $% \left( x,y\right) $ of a point and the polar representation $\left( r,\theta \right) $ of that same point. Since the angle $\theta +2\pi $ is the same as the angle $\theta ,$ the polar representation of a point is not unique. Indeed, $\left( r,\theta \right) =\left( r,\theta +2n\pi \right) ,$ where $n$ is any integer. \vspace{1pt} \paragraph{Example:} We shall find all polar representations of the point $P=\left( -2,-2\right) . $ Now this point lies in the third quadrant. $r=\sqrt{\left( -2\right) ^{2}+\left( -2\right) ^{2}}=\allowbreak 2\sqrt{2}$ and $\theta =\arctan \left( \frac{-2}{-2}\right) =\arctan (1).$ SNB gives $\pi /4$ as the value of $\arctan 1,$ and we can use this provided we take $r$ to be negative since $P$ is in Quadrant III. If we want $r$ to be positive then we must use $\theta =\pi +\frac{\pi }{4}=\allowbreak \frac{5}{4}\pi .$ Hence $\left( -2,-2\right) =\left( 2\sqrt{2},\frac{5\pi }{4}\pm 2n\pi \right) =\left( -2\sqrt{2},\frac{\pi }{4}\pm 2n\pi \right) $ \vspace{1pt} Equations of certain curves take a compact form in polar coordinates. In polar coordinates we get an equation of the form $r=f\left( \theta \right) .$ Such an equation may be graphed by assigning values to $\theta ,$ and then plotting the $\left( r,\theta \right) $ values that one gets. \paragraph{Example:} Write the equation of the circle with radius $4$ centered at $\left( -4,0\right) $ in polar form. The circle has the equation \vspace{1pt} \begin{equation*} \left( x+4\right) ^{2}+y^{2}=16 \end{equation*} \vspace{1pt} in rectangular coordinates. Simplifying this equation leads to \vspace{1pt} \begin{equation*} x^{2}+y^{2}+8x=0 \end{equation*} \vspace{1pt} Using $x=r\cos \theta $ and $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ we may rewrite this equation in polar coordinates as \vspace{1pt} \begin{equation*} r=-8\cos \theta \end{equation*} \vspace{1pt} We may check our result by graphing this last equation using SNB $r=-8\cos \theta $ \begin{center} \FRAME{dtbpF}{3.0441in}{2.0384in}{0pt}{}{}{circle.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.0441in;height 2.0384in;depth 0pt;original-width 3in;original-height 2.0003in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/circle.wmf';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} \end{center} \subsection{\protect\vspace{1pt}Some Polar Graphs} Polar coordinates allow one to write the equations of many curves which cannot be readily written in rectangular form. Some examples are given below. \paragraph{Examples:} \begin{center} \FRAME{dtbpFU}{2.5996in}{1.9476in}{0pt}{\Qcb{$r=\cos 2\protect\theta $}}{}{% cos2theta.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "USEDEF";valid_file "F";width 2.5996in;height 1.9476in;depth 0pt;original-width 3in;original-height 2.0003in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/cos2theta.wmf';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} \FRAME{dtbpFU}{2.4716in}{1.9337in}{0pt}{\Qcb{$r=\cos 3\protect\theta $}}{}{% cos3theta.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "USEDEF";valid_file "F";width 2.4716in;height 1.9337in;depth 0pt;original-width 2.431in;original-height 2.0003in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/cos3theta.wmf';file-properties "XNPEU";}} $\FRAME{itbpFU}{2.7043in}{1.8507in}{0in}{\Qcb{$r=\cos 4\protect\theta $}}{}{% cos4theta.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "USEDEF";valid_file "F";width 2.7043in;height 1.8507in;depth 0in;original-width 3in;original-height 2.0003in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/cos4theta.wmf';file-properties "XNPEU";}}$ \vspace{1pt} $\FRAME{itbpFU}{2.597in}{1.8291in}{0in}{\Qcb{$r=2\left( 1-\cos \protect\theta \right) $}}{}{cardoid.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 2.597in;height 1.8291in;depth 0in;original-width 2.5555in;original-height 1.7919in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/cardoid.wmf';file-properties "XNPEU";}}$ \end{center} \subsection{Polar Form of Complex Numbers} Recall that in polar coordinates $r$ and $\theta $ we can write $x=r\cos \theta $ and $y=r\sin \theta ,$ where $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ and $\theta =\arctan \dfrac{y}{x}.$ Thus $z=x+iy=r\left( \cos \theta +i\sin \theta \right) $, where $r=\left| \text{ }z\right| .$ Pictorially we have \begin{center} \vspace{1pt} \FRAME{dtbpF}{3.3797in}{1.8922in}{0pt}{}{}{6-2.bmp}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.3797in;height 1.8922in;depth 0pt;original-width 3.333in;original-height 1.8542in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/6-2.bmp';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \begin{equation*} \left| \text{ }z\right| =r=\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{\frac{1}{2}} \end{equation*} is the distance of the point $\left( x,y\right) $ from $\left( 0,0\right) $ and is called the \emph{modulus} (or absolute value) of $z.$ $\theta $ is called the \emph{argument} of $z=x+iy,$ written \begin{eqnarray*} \theta &=&\arg z \\ &=&\arctan \left( \dfrac{y}{x}\right) \end{eqnarray*} $\theta $ is determined up to a multiple of $2\pi .$ \vspace{1pt} \paragraph{Example:} Let $z=\sqrt{3}+i.$ Find the modulus and argument of $z.$ \begin{equation*} r=\left| \sqrt{3}+i\right| =\allowbreak 2 \end{equation*} and \begin{equation*} \theta =\arctan \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\allowbreak \frac{1}{6}\pi . \end{equation*} \begin{center} \vspace{1pt} \end{center} Consider two complex numbers $z_{1}=r_{1}\left( \cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1}\right) $ and $z_{2}=r_{2}\left( \cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2}\right) .$ Then \vspace{1pt} $z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\left[ \left( \cos \theta _{1}\cos \theta _{2}-\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right) +i\left( \sin \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{2}\cos \theta _{1}\right) \right] =r_{1}r_{2}\left[ \cos \left( \theta _{1}+\theta _{2}\right) +i\sin \left( \theta _{1}+\theta _{2}\right) \right] $ \vspace{1pt} From here we see that \begin{equation*} \left| z_{1}z_{2}\right| =r_{1}r_{2} \end{equation*} and \begin{equation*} \arg \left( z_{1}z_{2}\right) =\theta _{1}+\theta _{2}+2n\pi \text{ \ \ }% n=0,\pm 1,\ldots \end{equation*} If we now let $z=z_{1}=z_{2}$, then $z^{2}=r^{2}\left[ \cos 2\theta +i\sin 2\theta \right] .$ Continuing we have that \vspace{1pt} \begin{equation*} z^{n}=r^{n}\left( \cos n\theta +i\sin n\theta \right) \end{equation*} We may use this result to establish the following: \subparagraph{Theorem.} \begin{equation*} z^{n}=r^{n}\left( \cos \theta +i\sin \theta \right) ^{n} \end{equation*} $n=1,2,3,\ldots $ \begin{center} \vspace{1pt} \end{center} \subparagraph{Proof:} We know that $z=r^{n}\left( \cos n\theta +i\sin n\theta \right) ,$ so we have to show that \begin{equation*} \left( \cos \theta +i\sin \theta \right) ^{n}=\left( \cos n\theta +i\sin n\theta \right) . \end{equation*} Let $w=\cos \theta +i\sin \theta .$ Then $\left| w\right| =1\Longrightarrow \left| w\right| ^{2}=\left| w^{2}\right| =1,$ and that $\left| w\right| ^{n}=1.$ Also, $\vspace{1pt}$ \begin{center} \begin{equation*} \arg w^{2}=\arg \left( w\cdot w\right) =\arg w+\arg w+2k\pi =2\arg w+2k\pi \end{equation*} \vspace{1pt} \end{center} Continuing we have that \vspace{1pt} \begin{equation*} \arg w^{n}=n\arg w+2k\pi \text{ \ }k=0,\pm 1,\ldots \end{equation*} \vspace{1pt} If $\arg w=\theta ,$ then $\arg w^{n}=n\theta $ (to within $2\pi $). Thus the polar form of $w^{n}=\left( \cos \theta +i\sin \theta \right) ^{n}$ is $% \cos n\theta +i\sin n\theta ,$ which establishes the result. \vspace{1pt} \begin{remark} The result% \begin{equation*} z^{n}=\left[ r\left( \cos n\theta +i\sin n\theta \right) \right] ^{n}=r^{n}\left( \cos n\theta +i\sin n\theta \right) \end{equation*} \end{remark} is known as DeMoivre's Formula. \subsection{\protect\vspace{1pt}Roots and Fractional Powers} One may use DeMoivre's Formula to find $n$th roots and fractional powers of complex numbers. \vspace{1pt}Definition. If \begin{equation*} w^{n}=z, \end{equation*} we say $w$ is an $n$ th root of $z.$ We denote this by $w=z^{\frac{1}{n}},$ \ $n=1,2,\ldots $ Let% \begin{equation*} z=r(\cos \theta +i\sin \theta )\text{ \ \ and \ }w=R(\cos \Theta +i\sin \Theta ). \end{equation*} Hence \vspace{1pt} \begin{equation*} w^{n}=R^{n}(\cos \Theta +i\sin \Theta )^{n}=R^{n}(\cos n\Theta +i\sin n\Theta )=z=r(\cos \theta +i\sin \theta ) \end{equation*} \vspace{1pt} \vspace{1pt}$\Rightarrow $% \begin{equation*} R^{n}=r \end{equation*}% and\qquad \begin{equation*} n\Theta =\theta +2k\pi \ (k\text{ \ any integer}) \end{equation*} $\Rightarrow $% \begin{equation*} \left| w\right| =R=r^{\frac{1}{n}} \end{equation*} $\vspace{1pt}$ the positive $n$th root of the positive number $r,$ and \vspace{1pt} \begin{equation*} \arg w=\Theta =\left( \frac{\theta +2k\pi }{n}\right) \ k=0,1,2,\ldots \end{equation*} Thus \vspace{1pt} \begin{center} \begin{equation*} w=z^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}\left[ \cos \left( \frac{\theta +2k\pi }{n}% \right) +i\sin \left( \frac{\theta +2k\pi }{n}\right) \right] \end{equation*} \end{center} Here $k$ can be any integer. However, we only get distinct values for $% k=0,1,2,\ldots n-1$ . For $k=n,n+1,\ldots $ \ or $k=-1,-2,-3,\ldots $ we repeat these values. To find $z^{\frac{m}{n}}$ we find $(z^{m})^{\frac{1}{n}% } $. \paragraph{\protect\vspace{1pt}Example:} Let $z=1.$ Since $\arg 1=0$ the $n$th roots of $1$ are \vspace{1pt} \begin{equation*} \sqrt[n]{1}=\omega _{n}=\cos \left( \frac{2mk}{n}\right) +i\sin \left( \frac{% 2\pi k}{n}\right) \qquad k=0,1,\ldots n-1 \end{equation*} \vspace{1pt} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/lec_4_12_00.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/graphics/polar.bmp %%%%%%%%%%%%%%%%% BuDReG@@@@@@@XC@@@@J@@@@PC@@@\L@@@P@@`A@@@@@@@@@@@`DK@@@Rl@@@@@@@@@@@@@@ aFZh}w_}w_aG^xCO|p}w_}w_~{o ^zig~xcOFZha ~{o@@@@@@@@XaEVmw^{]tQG@@@@UTQEig^z }w_@@@@_}uW sMw\@@@@@@@@zjknjifZ@@@@@@@@qF[l }w_@@@@_}uW v[o}fXbI@@@@]tQG@@@@@@@@dQFY }w_@@@@_}uW PCMtDP@A@@@@@@@@bHbHrKo| }w_@@@@_}uW w\sM@@@@@@@@Knxb }w_@@@@_}uW ]vYg@@@@@@@@@@@@U TQEig^z }w_@@@@_}uW ig^zQDQD@@@@| sOLp@C@@@@PAET }w_@@@@_}uW TQEU@@@ @DP@APCMtCNx`@@@@@@@@]vYg }w_@@@@ _}uW ~{o bHbHbHbHnyf[v[o}w\sMbHbHsLsLmw^{ }w_@@@@_}uW rKo|N{ls 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O~xcO~xcO~xcO~xcO~xcO~xcO~xcO~xcO~xcO~xcO~xcO~xcO~xcO~xcO~xcO~xcO~xcO~xcO~x cO[lqF@@@@@@@@MuTSzko~@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@QEUT]vYg]vYg]vYg]vYg]vYg]vYg]vYg]vYg]vYg]vYgNydS@@ 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