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%              Scientific Word   Wrap/Unwrap  Version 2.5             %
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% If you are separating the files in this message by hand, you will   %
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% directory.  The possible types are: Document, DocAssoc, Other,      %
% Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files      %
% tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file    %
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\documentclass{article}
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\begin{document}


\section{Ma 116 Lecture 3/8/00}

\vspace{1pt}

\subsection{The Gradient Vector as a Normal Vector}

\vspace{1pt}Recall that is $\left( x_{0},y_{0},z_{0}\right) $ is a point on
a plane and 
\begin{equation*}
\vec{n}=\left( n_{1},n_{2},n_{3}\right)
\end{equation*}

is a vector normal (perpendicular) to the plane at $\left(
x_{0},y_{0},z_{0}\right) $, then the equation of the plane is given by

\vspace{1pt}

\begin{equation*}
n_{1}\left( x-x_{0}\right) +n_{2}\left( y-y_{0}\right) +n_{3}\left(
z-z_{0}\right) =0
\end{equation*}

\vspace{1pt}

Now the graph of an equation of the form

\vspace{1pt}

\begin{equation*}
F\left( x,y,z\right) =0
\end{equation*}

will be a surface near any point where $\nabla F\neq 0.$ It can be shown
that the gradient vector

\begin{equation*}
\nabla F=\dfrac{\partial F}{\partial x}\vec{i}+\dfrac{\partial F}{\partial y}%
\vec{j}+\dfrac{\partial F}{\partial z}\vec{k}
\end{equation*}

\vspace{1pt}

is normal (perpendicular) to this surface at any point $P_{0}$ on the
surface provided $\nabla F\left( P_{0}\right) \neq 0$. Thus the \emph{%
tangent plane} to the surface $F\left( x,y,z\right) =0$ at the point $%
P_{0}\left( x_{0},y_{0},z_{0}\right) $ is the plane through $P_{0}$ has the
equation

\vspace{1pt}

\begin{equation}
F_{x}\left( x_{0},y_{0},z_{0}\right) \left( x-x_{0}\right) +F_{y}\left(
x_{0},y_{0},z_{0}\right) \left( y-y_{0}\right) +F_{z}\left(
x_{0},y_{0},z_{0}\right) \left( z-z_{0}\right) =0  \tag{$\left( \ast
\right)
$}
\end{equation}

\vspace{1pt}

\begin{example}
Write an equation of the tangent plane to the ellipsoid
\end{example}

\begin{equation*}
2x^{2}+4y^{2}+z^{2}=45
\end{equation*}

\vspace{1pt}

at the point $\left( 2,-3,-1\right) .$

\vspace{1pt}

\emph{Solution:} We write 
\begin{equation*}
F\left( x,y,z\right) =2x^{2}+4y^{2}+z^{2}-45
\end{equation*}

\vspace{1pt}

so that $F\left( x,y,z\right) =0$ is the equation of the ellipsoid.

\begin{equation*}
\nabla F=\left( 4x,8y,2z\right)
\end{equation*}

\vspace{1pt}

so that 
\begin{equation*}
\nabla F\left( 2,-3,-1\right) =\left( 8,-24,-2\right)
\end{equation*}

\vspace{1pt}

is normal to the ellipsoid at $\left( 2,-3,-1\right) .$ Thus the equation of
the tangent plane is

\vspace{1pt}

\begin{equation*}
8\left( x-2\right) -25\left( y+3\right) -2\left( z+1\right) =0
\end{equation*}

or%
\begin{equation*}
4x-12y-z=45
\end{equation*}

\begin{remark}
If we are given the surface in the form 
\begin{equation*}
z=f\left( x,y\right)
\end{equation*}
\end{remark}

then 
\begin{equation*}
F\left( x,y,z\right) =f\left( x,y\right) -z
\end{equation*}

and the equation of the surface is $F\left( x,y,z\right) =0.$ For this case $%
F_{x}=f_{x},F_{y},=f_{y},$ and $F_{z}=-1,$ so the equation of the tangent
plane $\left( \ast \right) $ to the surface $z=f\left( x,y\right) $ at the
point $P\left( x_{0},y_{0},z_{0}\right) $ is given by 
\begin{equation*}
f_{x}\left( x_{0},y_{0}\right) \left( x-x_{0}\right) +f_{y}\left(
y-y_{0}\right) -\left( z-z_{0}\right) =0
\end{equation*}

or%
\begin{equation*}
z-z_{0}=f_{x}\left( x_{0},y_{0}\right) \left( x-x_{0}\right) +f_{y}\left(
y-y_{0}\right)
\end{equation*}

\begin{example}
Find the tangent plane to the elliptic paraboloid 
\begin{equation*}
z=2x^{2}+y^{2}
\end{equation*}
\end{example}

at the point $\left( 1,1,3\right) .$

\vspace{1pt}

Now 
\begin{equation*}
f_{x}\left( x,y\right) =4x\text{ \ \ \ \ \ \ \ \ }f_{y}\left( x,y\right) =2y
\end{equation*}

so 
\begin{equation*}
f_{x}\left( 1,1\right) =4\text{ \ \ \ \ \ \ \ \ }f_{y}\left( 1,1\right) =2
\end{equation*}

Thus%
\begin{equation*}
z-3=4\left( x-1\right) +2\left( y-1\right)
\end{equation*}

or%
\begin{equation*}
z=4x+2y-3
\end{equation*}

Let us look at the graph of this surface and its tangent plane.

$z=2x^{2}+y^{2}$

$z=4x+2y-3$\FRAME{dtbpFX}{3in}{2.0003in}{0pt}{}{}{Plot}{\special{language
"Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 3in;height 2.0003in;depth
0pt;display "USEDEF";plot_snapshots TRUE;recompute FALSE;lastEngine
"Maple";xmin "-5";xmax "5";ymin "-5";ymax "5";xviewmin "-5.2";xviewmax
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y";num-x-gridlines 25;num-y-gridlines 25;axesstyle "Normal";xis
\TEXUX{x};yis \TEXUX{y};var1name \TEXUX{$x$};var2name \TEXUX{$y$};function
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"-5,5";var2range "-5,5";surfaceColor
"[linear:XYZ:RGB:0x00ff0000:0x000000ff]";surfaceStyle "Color
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\TEXUX{$2x^{2}+y^{2}$};linecolor "Black";linestyle 1;pointstyle
"Point";var1range "-5,5";var2range "-5,5";surfaceColor
"[linear:XYZ:RGB:0x00ff0000:0x000000ff]";surfaceStyle "Color
Patch";num-x-gridlines 25;num-y-gridlines 25;surfaceMesh "None";valid_file
"T";tempfilename 'FR2MMU01.wmf';tempfile-properties "XPR";}}

\vspace{1pt}

The following example is from the SNB Help file on Gradient.

\vspace{1pt}

Find a vector $v$ normal to the surface $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\left(
x^{2}+y^{2}\right) ^{3/2}$ at the point $\left( x,y,z\right) \neq \left(
0,0,0\right) $ on the surface.

A normal vector is given by 
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
\nabla \left( \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{3/2}-z\right)
\\ 
\qquad \qquad =\left( \dfrac{1}{\sqrt{\left( x^{2}+y^{2}\right) }}x+3\sqrt{%
\left( x^{2}+y^{2}\right) }x,\dfrac{1}{\sqrt{\left( x^{2}+y^{2}\right) }}y+3%
\sqrt{\left( x^{2}+y^{2}\right) }y,-1\right) \\ 
\qquad \qquad =\left( x\dfrac{1+3x^{2}+3y^{2}}{\sqrt{\left(
x^{2}+y^{2}\right) }},y\dfrac{1+3x^{2}+3y^{2}}{\sqrt{\left(
x^{2}+y^{2}\right) }},-1\right) \\ 
\qquad \qquad =\dfrac{1}{\sqrt{\left( x^{2}+y^{2}\right) }}\left( x\left(
1+3x^{2}+3y^{2}\right) ,y\left( 1+3x^{2}+3y^{2}\right) ,-\sqrt{\left(
x^{2}+y^{2}\right) }\right)%
\end{array}%
\end{equation*}

Hence, any scalar multiple of \hfill\ 
\begin{equation*}
\left[ x\left( 1+3x^{2}+3y^{2}\right) ,y\left( 1+3x^{2}+3y^{2}\right) ,-%
\sqrt{\left( x^{2}+y^{2}\right) }\right]
\end{equation*}%
is also normal to the given surface.

\vspace{1pt}

\subsection{Implicit Differentiation}

\begin{theorem}
Suppose that the function $F\left( x,y,z\right) $ has continuous first
partial derivatives and that $F\left( x,y,z\right) =0$ implicitly defines a
function $z=f\left( x,y\right) $ that has continuous first-order partial
derivatives. Then%
\begin{equation*}
\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_{x}}{F_{z}}
\end{equation*}
\end{theorem}

and 
\begin{equation*}
\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{F_{y}}{F_{z}}
\end{equation*}

\begin{example}
Find $z_{x}$ and $z_{y}$ if 
\begin{equation*}
z^{3}+xz-y^{2}=1
\end{equation*}
\end{example}

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}\emph{Solution:} Let 
\begin{equation*}
F\left( x,y,z\right) =z^{3}+xz-y^{2}-1
\end{equation*}

\vspace{1pt}Then

\begin{equation*}
\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_{x}}{F_{z}}=-\dfrac{z}{3z^{2}+x}
\end{equation*}

and 
\begin{equation*}
\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{F_{y}}{F_{z}}=-\dfrac{-2y}{3z^{2}+x}
\end{equation*}


\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/lec_3_8_00.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/FR2MMU01.wmf %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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