\hfill \thepage} %} \newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement} \newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm} \newtheorem{case}[theorem]{Case} \newtheorem{claim}[theorem]{Claim} \newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion} \newtheorem{condition}[theorem]{Condition} \newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion} \newtheorem{notation}[theorem]{Notation} \newtheorem{problem}[theorem]{Problem} \newtheorem{solution}[theorem]{Solution} \newtheorem{summary}[theorem]{Summary} \newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}} \input{tcilatex} \begin{document} \section{\protect\vspace{1pt}Ma 116 Lecture 3/29/00} \vspace{1pt}Last time we discussed the concept of double integrals. Let $R$ be the region bounded by the parabola $y=x^{2}$ and the line $y=x+2$% . Evaluate% \begin{equation*} \iint_{R}xydA \end{equation*} \paragraph{\protect\vspace{1pt}Solution:} Graphing these functions gives the region below. \begin{center} \FRAME{dtbpF}{3.0441in}{2.0384in}{0pt}{}{}{y=x^2_x.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.0441in;height 2.0384in;depth 0pt;original-width 3in;original-height 2.0003in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/y=x^2_x.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt}The parabola and line intersect where $y=x^{2}=x+2$ $\Rightarrow $ \ $x^{2}-x-2=0$ or $(x-2)(x+1)=0.$ Thus $x=2,$ and $x=-1$ are the $x$ coordinates of the points of intersection. $x=2$ \ $\Rightarrow $ \ $% y=4;$ whereas $x=-1$ \ $\Rightarrow $ \ $y=1.$ The points of intersection are thus $\left( 2,4\right) $ and $\left( -1,1\right) .$ We shall set up the required integral in two ways. Consider \begin{equation*} \int \int_{R}xydydx \end{equation*} Drawing a vertical strip we see that $y$ goes from the parabola to the line. Thus% \begin{equation*} \int \int_{R}xydydx=\int_{-1}^{2}\int_{x^{2}}^{x+2}xydydx=\dfrac{45}{8} \end{equation*} \vspace{1pt} Consider now% \begin{equation*} \int \int_{R}xydxdy \end{equation*} Drawing horizontal strips we see that between $y=0$ and $y=1$ that $x$ goes from one side of the parabola $\left( -\sqrt{y}\right) $to the other since $% \left( +\sqrt{y}\right) $, whereas about $y=1$ it goes from the line to the parabola. We therefore need two integrals to do the integration this way. \begin{equation*} \int \int_{R}xydxdy=\int_{0}^{1}\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}% }xydxdy+\int_{1}^{4}\int_{y-2}^{\sqrt{y}}xydxdy=\dfrac{45}{8} \end{equation*} Given $\vspace{1pt}$ $\qquad \qquad \qquad $% \begin{equation*} \int_{0}^{2}\int_{y}^{2}y\cos x^{5}dxdy, \end{equation*} \vspace{1pt} write out an equivalent integral with the order of integration reversed. Do \emph{not} evaluate this integral.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \paragraph{\protect\vspace{1pt}Solution:} \vspace{1pt}The region over which we integrate is shown in the picture: \begin{center} \FRAME{dtbpF}{3.0441in}{2.0384in}{0pt}{}{}{eqfw6200.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.0441in;height 2.0384in;depth 0pt;original-width 216.8125pt;original-height 144.5625pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/EQFW6200.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt} When we reverse the order of integration, we first integrate with respect to $y$, then with respect to $x.$ Here, $y$ goes from $0$ to $y=x$, and $x$ goes from $0$ to $2$. Thus, \vspace{1pt} \begin{equation*} \int_{0}^{2}\int_{0}^{x}y\cos x^{5}dydx \end{equation*} \subsection{Special Case - Area by Integration} The special case of $\int \int\limits_{R}f(x,y)dx$ $dx$ when $f=1$ is $\vspace{1pt}$ \begin{center} $\int \int\limits_{R}dA=\int \int\limits_{R}dx$ $dy=\int \int\limits_{R}dy$ $% dx$. \end{center} \vspace{1pt} In this case the double integral represents the area of the region $R$ in the $x,y-$plane. \vspace{1pt} \begin{center} \vspace{1pt}\FRAME{dtbpF}{3.0485in}{2.2494in}{0pt}{}{}{area_dy_dx.gif}{% \special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.0485in;height 2.2494in;depth 0pt;original-width 5.0004in;original-height 3.6772in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/area_dy_dx.gif';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad Area$% =\dint_{a}^{b}\dint_{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}dy$ $dx$ \vspace{1pt} \begin{center} \FRAME{dtbpF}{3.0485in}{2.124in}{0pt}{}{}{area_dx_dy.gif}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.0485in;height 2.124in;depth 0pt;original-width 5.0004in;original-height 3.4688in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/area_dx_dy.gif';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad Area$% =\int_{c}^{d}\int_{g_{1}(y)}^{g_{2}(y)}dx$ $dy$ \subsection{Finding Area Using Double Integration} \begin{example} \vspace{1pt} \end{example} The integral $\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{x}dy$ $dx$ represents the area of a region of the $x,y-$ plane. Sketch the region and express the same area as a double integral with the order of integration reversed. Since the inner integral varies from $y=x^{2}$ to $y=x$, we graph these two functions. They intersect at $\left( 0.0\right) $ and $\left( 1,1\right) .$ Thus we have the diagram below. \begin{center} \FRAME{dtbpFU}{3.0441in}{2.0384in}{0pt}{\Qcb{Area Between $y=x^{2}$ and $y=x$% }}{}{area_x_x^2.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.0441in;height 2.0384in;depth 0pt;original-width 3in;original-height 2.0003in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/area_x_x^2.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \qquad \qquad \qquad \qquad \vspace{1pt}We now change order of integration and so that the integration with respect to $x$ comes first. Then $x$ goes from $y$ to$\sqrt{y}$ to give a horizontal strip between $y$ and $y+dy$. Thus \vspace{1pt} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \begin{equation*} \int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{x}dydx=\int_{0}^{1}\int_{y}^{\sqrt{y}}dxdy=\dfrac{1% }{6} \end{equation*} \vspace{1pt} Another expression for the area is \begin{equation*} \int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{x}dydx=\allowbreak \frac{1}{6} \end{equation*} so our result checks. Find the area bounded by the parabola $y=x^{2}$ and the line $y=x+2$. Graphing these functions gives \begin{center} \FRAME{dtbpF}{3.0441in}{2.0384in}{0pt}{}{}{y=x^2_x.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.0441in;height 2.0384in;depth 0pt;original-width 3in;original-height 2.0003in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/y=x^2_x.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt}The parabola and line intersect where $y=x^{2}=x+2$ $\Rightarrow $ \ $x^{2}-x-2=0$ or $(x-2)(x+1)=0.$ Thus $x=2,$ and $x=-1$ are the $x$ coordinates of the points of intersection. $x=2$ \ $\Rightarrow $ \ $% y=4;$ whereas $x=-1$ \ $\Rightarrow $ \ $y=1.$ We shall first find the area by integrating first with respect to $x$ and then with respect to $y,$ i.e., we shall evaluate $\int \int\limits_{R}dx$ $% dy.$ When $y$ is between $0$ and $1$,(below the line $y=1)\ $\ $x$ goes from the left part of the parabola $-\sqrt{y}$ to the right part $\sqrt{y}.$ $% \Rightarrow $ \begin{equation*} \int_{0}^{1}\int_{-\sqrt{y}}^{+\sqrt{y}}dxdy \end{equation*} When $y$ is between $1$ and $4$ (above the line $y=1$), $x$ goes from $y-2$ to $\sqrt{y}$ $\Rightarrow $ \ $\int_{1}^{4}\int_{y-2}^{\sqrt{y}}dx$ $dy$. Thus \vspace{1pt} \qquad \qquad \begin{equation*} A=\dint_{0}^{1}\dint_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}dxdy+\int_{1}^{4}\int_{y-2}^{% \sqrt{y}}dxdy=\frac{9}{2}. \end{equation*} We now set up the expression for the area when the order of integration is done first with respect to $y$ and then with respect to $x.$ \begin{equation*} A=\int \int\limits_{R}dydx=\int_{-1}^{2}\int_{x^{2}}^{x+2}dydx=\frac{9}{2} \end{equation*} Note that if one had to do the evaluation of the integrals by hand (rather than with SNB as we have done) the second representation for the area is easier to evaluate than the first. Find the area between the parabola $x=y-y^{2}$ and the line $x+y=0$, that is the line $y=-x$. \begin{center} \vspace{1pt} \FRAME{dtbpF}{3.0441in}{2.0384in}{0pt}{}{}{y-y^2.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.0441in;height 2.0384in;depth 0pt;original-width 3in;original-height 2.0003in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/y-y^2.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt} $\vspace{1pt}$We first put the equation of the parabola in standard form by completing the square. $x=y-y^{2}$ or $x=-(y^{2}-y)$. Completing the square $\Rightarrow $ $% x=-(y^{2}-y+\frac{1}{4})+\frac{1}{4}$ or $x-\frac{1}{4}=-(y-\frac{1}{2})^{2}$% . \vspace{1pt} Hence the parabola passes through $(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$. Now $x=0$ \ $% \Rightarrow $ \ $y(1-y)=0$ \ $\Rightarrow $ \ $y=0$ and $y=1$. Thus the parabola goes through the points $(0,0),(0,1),$ and $(\frac{1}{4},\frac{1}{2}% )$. \vspace{1pt} We now find the points where the line and the parabola intersect. We have $% x=y-y^{2}$ and $x=-y$ \ $\Rightarrow $ \ $-y=y-y^{2}$ or $0=2y-y^{2}=y(2-y)$% . \ $\Rightarrow $ \ $y=0$ or $y=2$. The points of intersection are therefore $(0,0)$ and $(-2,2)$. We again set up the expression for the area in two ways. First consider $% \int \int\limits_{R}dxdy$. \begin{equation*} A=\int_{0}^{2}\int_{-y}^{y-y^{2}}dxdy=\allowbreak \frac{4}{3} \end{equation*} \vspace{1pt} Now for $\int \int\limits_{R}dydx$. Note that $y-\frac{1}{2}=\pm \sqrt{\frac{% 1}{4}-x}$on the parabola. \vspace{1pt} \qquad \begin{equation*} A=\int_{-2}^{0}\dint_{-x}^{\sqrt{\frac{1}{4}-x}+\frac{1}{2}}dydx+\int_{0}^{% \frac{1}{4}}\dint_{-\sqrt{\frac{1}{4}-x}+\frac{1}{2}}^{\sqrt{\frac{1}{4}-x}+% \frac{1}{2}}dydx=\allowbreak \frac{4}{3} \end{equation*} $\left( 1\right) $ Sketch the region $R$ bounded by the curves $xy=2$ , $y=% \frac{x^{2}}{4}$, $y=4,$ $x\geq $ $\frac{1}{2}$. \paragraph{\protect\vspace{1pt}Solution:} \begin{center} \FRAME{dtbpF}{3.0441in}{2.0384in}{0pt}{}{}{eqfg3a04.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.0441in;height 2.0384in;depth 0pt;original-width 216.8125pt;original-height 144.5625pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/EQFG3A04.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} The region is bounded by the green ($y=\frac{x^{2}}{4}$), red ($y=4$), and black lines ($xy=2$). The intersection points are $(2,1),(4,4),(\frac{1}{2}% ,4).$ $\left( 2\right) $ Give two expressions involving double integration for the area of the region $R$. \paragraph{\protect\vspace{1pt}Solution:} \vspace{1pt}In the first case, we integrate first with respect to $x$, in the second -- first with respect to $y$. \vspace{1pt}Case 1. Integrate with respect to $x$ first; $x$ goes from $% \frac{2}{y}$ to $\sqrt{4y}$ while $y$ goes from $1$ to $4$. \begin{center} \begin{eqnarray*} A &=&\int_{1}^{4}\int_{\frac{2}{y}}^{2\sqrt{y}}dxdy \\ &=&\frac{28}{3}-4\ln 2 \end{eqnarray*} \end{center} Case 2. \ Integrate with respect to $y$ first; $y$ goes from $\frac{2}{x}$ to $4$ while $x$ goes from $\frac{1}{2}$ to $2$; then $y$ from $\ \frac{x^{2}% }{4}$ to $4$, while $x$ goes from $2$ to $4$. \begin{center} \begin{eqnarray*} A &=&\int_{\dfrac{1}{2}}^{2}\int_{\dfrac{2}{x}}^{4}dydx+\int_{2}^{4}\int_{% \frac{x^{2}}{4}}^{4}dydx \\ &=&\frac{28}{3}-4\ln 2 \end{eqnarray*} \end{center} \subsection{Polar Coordinates} Recall that given a point $(x,y)$ we may assign to this point new coordinates $(r,\theta )$ as follows: \vspace{1pt}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \begin{equation*} x=r\cos \theta \qquad y=r\sin \theta \end{equation*} If $r>0$\ and $\theta $ are given they uniquely determine a point in the $% x,y-$plane. An equation of the form $r=f(\theta )$ determines a curve in the $(x,y)-$plane. \begin{example} \end{example} Graph $r=2\sin 3\theta $ \begin{center} \vspace{1pt}\FRAME{dtbpF}{3.0441in}{2.0384in}{0pt}{}{}{sin_3_theta.wmf}{% \special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.0441in;height 2.0384in;depth 0pt;original-width 3in;original-height 2.0003in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/sin_3_theta.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \begin{example} \end{example} Draw the curve, called a lemniscate, defined by $r^{2}=18\cos 2\theta $ \begin{center} \FRAME{dtbpF}{3.0441in}{2.0384in}{0pt}{}{}{lemnis.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.0441in;height 2.0384in;depth 0pt;original-width 3in;original-height 2.0003in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/lemnis.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \begin{example} \end{example} Graph $r=4\cos \theta $ \ $\Rightarrow $ \ $r^{2}=4r\cos \theta =4x$ \qquad \qquad $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ so that $x^{2}+y^{2}=4x$ or $% x^{2}-4x+y^{2}=0$, which is the circle $(x-2)^{2}+y^{2}=4$ centered at $% (2,0) $ with radius $2$. \begin{center} \FRAME{dtbpF}{3.0441in}{2.0384in}{0pt}{}{}{circle.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.0441in;height 2.0384in;depth 0pt;original-width 3in;original-height 2.0003in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/circle.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/lec_3_29_00.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/graphics/y=x^2_x.wmf %%%%%%%%%%%%%%%% WwlqZB@@@@@@@P\GXOA{I@@@@@@}HJ@@I@@@CPmD@@`A@t_@@@@@@t_@@@p}@@p@|C@@@@@@@B@ @@@@`@@@`@B@@@@@`@@H@@B@@@BH@@CLp@|qG_@PLqDC@FYdQ@tUW]A@dPBI@Yg]v@D_|qCPO@@ @@aA@@@XH@@@Pk@@@@UC@@@|FZ@py`C@kEV@|o_|ApfNJ@G]s@lsD@@pW[@@@ENR@@pzJA @PutD@@wS@@|oTZ@piUC@KxT@|_gtAp{^I@o]o@TcEA@pTgD@@seS@@PISB@pm_I@@ZOg@ @|aC@pV~A@_zO@|onbApNgH@SNm@tBIA@`S~H@@oae@@Dy\C@@mMR@@WgJA@hOqE@`~MCB @{[mO@pOx^A@kGH@}_Oj@PRKF@`RRU@@nQGA@@YeC@pksJ@@L{\@@\NzA@pGB@O\@|]B @FrH@@gHu@@\c\D@pQTV@@X]kA@dfvG@`^c@@`~OO@X{[A`swG@hoh@@`O@@@@eA@@@lH@@ @`l@@@@XC@@[|oF@`uVA`^cG@_~Og@X|BCP@slA@BpeK@LPa@A@AmNE@DX]Y@TpxAPG[H@ w|oe@PugB`\gK@S~Os@X{aC@@mPB@@@EN@@p\MA@@VFF@@d[]@@@wJB@@{I@]|j@tszB@ XkL@F~v@|znC`@oxB@B|dS@D`[mAP@LnH@AhZj@DpqGC@@cON@b|@PwCphO@@@AS@@ pJmA@@F}H@@Lvl@@P`XC@@a~O@Xpz@HCnCpSEO@mM}@xxxCPlsO@BHpV@DP@NBP@APL@R Pq@XbJCpNB}O@Suu@tf^CPbY~O@fn{@XlwCPJ@LD@s@PY@|C@JB`R@|J@WA`u@LF@C@] [|O@Fbs@hyUCpky}O@Fwy@xMqCPQ@hD@XAPY@lF@BB@`@|I@UB`o@lJ@^C`p@|O@J{q@LM PCPwd}O@gsx@LmC`O@PA@XApL@HG@SAPc@PG@iB`e@TL@xB`x@lM@Wr@|oSCp|}O@{ z@PDDN@@VbxA@mYCL@dWPz@PaLQD@RBeS@|IUWA@j`AF@pBgZ@\K`uA@rLNI@\wye@tnkkBp 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