\hfill \thepage} %} \newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement} \newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm} \newtheorem{case}[theorem]{Case} \newtheorem{claim}[theorem]{Claim} \newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion} \newtheorem{condition}[theorem]{Condition} \newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion} \newtheorem{notation}[theorem]{Notation} \newtheorem{problem}[theorem]{Problem} \newtheorem{solution}[theorem]{Solution} \newtheorem{summary}[theorem]{Summary} \newenvironment{proof}[1][P roof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}} \input{tcilatex} \begin{document} \section{Ma 116 Lecture 3/27/00} \begin{center} \vspace{1pt} \vspace{1pt} \end{center} Remark: The concept of a function of one variable in which $y=g\left( x\right) $ may be extended to two or more variables. If $z$ is uniquely determined by values of the variables $x$ and $y$, then we say $z$ is a function of $x$ and $y,$ and write $z=f\left( x,y\right) .$ Thus for each pair of values $x$ and $y$ in the domain of $f,$ $f(x,y)$ gives one value of $z.$ \subsection{Double Integrals} \vspace{1pt}Recall that if $f(x)>0$ then $\int_{a}^{b}f(x)dx$ represents the area under $f$ \ between $x=a$ and $x=b$. \vspace{1pt} \begin{equation*} \FRAME{itbpF}{1.5748in}{1.1606in}{0in}{}{}{function.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 1.5748in;height 1.1606in;depth 0in;original-width 107.875pt;original-height 79pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/function.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{equation*} Now consider a function $f(x,y)$ of \emph{two} variables $x$ and $y$. Then $% I=\int \int\limits_{R}f(x,y)dA$ denotes the double integral over the region $% R$ of the function $f(x,y)$. Actually when $f$ is positive $I$ is the volume under $f$ which is enclosed by $f$, its projection $R$ onto the $x,y-$plane and the ``shell of the projection''. \vspace{1pt}\FRAME{dtbpF}{3.039in}{2.1975in}{0pt}{}{}{area.gif}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.039in;height 2.1975in;depth 0pt;original-width 5.0004in;original-height 3.6045in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/area.gif';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} If we imagine a grid in the $x,y-$plane then $\Delta A=\Delta x\Delta y=\Delta y\Delta x$ and $dA=dxdy=dydx$ \ $\Rightarrow $ \ $I=\int \int\limits_{R}f(x,y)dxdy=\int \int\limits_{R}f(x,y)dydx$. \vspace{1pt}\FRAME{dtbpF}{3.039in}{2.3116in}{0pt}{}{}{grid.gif}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.039in;height 2.3116in;depth 0pt;original-width 5.0004in;original-height 3.7913in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/grid.gif';file-properties "XNPEU";}} If we are given the boundaries of $R$ in terms of $y$ as a function of $x$, i.e. \vspace{1pt} \vspace{1pt}\FRAME{dtbpF}{3.039in}{2.2243in}{0pt}{}{}{yasfuncx.gif}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.039in;height 2.2243in;depth 0pt;original-width 5.0004in;original-height 3.6461in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/yasfuncx.gif';file-properties "XNPEU";}} Then \begin{equation*} \int \int\limits_{R}f(x,y)dA=\int_{a}^{b}\left[ \int_{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}f(x,y)dy\right] dx. \end{equation*} \vspace{1pt} On the other hand if we are given the boundaries of $R$ in a form in which $% x $ is a function of $y$ as indicated below \vspace{1pt} \begin{center} \FRAME{dtbpF}{3.2491in}{2.316in}{0pt}{}{}{xasfuncy.gif}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.2491in;height 2.316in;depth 0pt;original-width 5.0004in;original-height 3.5518in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/xasfuncy.gif';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt} Then \begin{equation*} \int \int\limits_{R}f(x,y)dA=\int_{c}^{d}\left[ \int_{g_{1}(y)}^{g_{2}(y)}f(x,y)dx\right] dy \end{equation*} \paragraph{Example:} Evaluate $\int \int\limits_{R}x^{2}y^{3}dA$ where $R$ is the region contained by the lines $x=1,x=2,y=2,$and $y=3$. \vspace{1pt}\FRAME{dtbpF}{3.039in}{2.3549in}{0pt}{}{}{rectangle.gif}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.039in;height 2.3549in;depth 0pt;original-width 5.0004in;original-height 3.8649in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/rectangle.gif';file-properties "XNPEU";}} \begin{eqnarray*} \int \int\limits_{R}x^{2}y^{3}dA &=&\int_{2}^{3}\int_{1}^{2}x^{2}y^{3}dxdy=\int_{2}^{3}y^{3}\left[ \int_{1}^{2}x^{2}dx\right] dy=\int_{2}^{3}y^{3}\left[ \frac{x^{3}}{3}\right] _{1}^{2}dy \\ &=&\int_{2}^{3}y^{3}\left[ \frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right] dy=\frac{7}{3}% \int_{2}^{3}y^{3}dy=\frac{7}{3}\left[ \frac{y^{4}}{4}\right] _{2}^{3}=\frac{7% }{12}[3^{4}-2^{4}]=\allowbreak \frac{455}{12} \end{eqnarray*} \vspace{1pt} \vspace{1pt}\qquad \qquad \qquad \vspace{1pt}We may also calculate the double integral by integrating with respect to $y$ first \begin{eqnarray*} \int \int\limits_{R}x^{2}y^{3}dA &=&\int_{1}^{2}\int_{2}^{3}x^{2}y^{3}dydx=\int_{1}^{2}x^{2}\left[ \int_{2}^{3}y^{3}dy\right] dx=\int_{1}^{2}x^{2}\left[ \frac{y^{4}}{4}\right] _{2}^{3}dx \\ &=&\frac{1}{4}\left[ 3^{4}-2^{4}\right] \int_{1}^{2}x^{2}dx=\frac{65}{4}% \left[ \frac{x^{3}}{3}\right] _{1}^{2}=\frac{1}{12}(65)[8-1]=\allowbreak \frac{455}{12} \end{eqnarray*} \vspace{1pt} \qquad \qquad \qquad Thus $\int \int_{R}x^{2}y^{3}dydx=\int \int_{R}x^{2}y^{3}dxdy$. This is true in general. However, one must make sure that the limits of integration are correct. \vspace{1pt} \subsection{\protect\vspace{1pt}Evaluation of Double Integrals} \vspace{1pt}Here are a couple of examples of how one evaluates more complicated double integrals. \begin{example} \end{example} Evaluate% \begin{equation*} \int_{1}^{\ln 8}\int_{0}^{\ln y}e^{x+y}dxdy \end{equation*} \vspace{1pt} \begin{equation*} \int_{1}^{\ln 8}\int_{0}^{\ln y}e^{x+y}dxdy=\int_{1}^{\ln 8}\left[ \int_{0}^{\ln y}e^{x}dx\right] e^{y}dy=\int_{1}^{\ln 8}\left[ e^{x}\right] _{0}^{\ln y}e^{y}dy=\int_{1}^{\ln 8}e^{y}[y-1]dy=\int_{1}^{\ln 8}ye^{y}dy-\int_{1}^{\ln 8}e^{y}dy \end{equation*}% \ We use integration by parts to evaluate $\int_{1}^{\ln 8}ye^{y}dy$ with $u=y$ and $dv=e^{y}dy$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \begin{equation*} \int_{1}^{\ln 8}\int_{0}^{\ln y}e^{x+y}dxdy=\left[ ye^{y}\right] _{1}^{\ln 8}-\int_{1}^{\ln 8}e^{y}dy-\int_{1}^{\ln 8}e^{y}dy=8\ln 8-e-2e^{y}|_{1}^{\ln 8}=8\ln 8-e-16+2e=8\ln 8+e-16. \end{equation*} \begin{example} \end{example} Evaluate% \begin{equation*} \iint_{R}x^{2}y^{3}dA \end{equation*} where $R$ is the triangle with vertices at $\left( 0,0\right) ,\left( 0,1\right) ,\left( 1,1\right) .$ \paragraph{Solution:} The triangle is shown below. \FRAME{dtbpFX}{3in}{2in}{0pt}{}{}{Plot}{\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 3in;height 2in;depth 0pt;display "USEDEF";plot_snapshots TRUE;recompute FALSE;lastEngine "Maple";xmin "-5";xmax "5";xviewmin "-0.02";xviewmax "1.0204";yviewmin "-0.02";yviewmax "1.0204";phi 45;theta 45;plottype 4;numpoints 49;axesstyle "Normal";var1name \TEXUX{$x$};function \TEXUX{$\left( 0,0,1,1,0,1\right) $};linecolor "Black";linestyle 1;pointstyle "Point";linethickness 1;lineAttributes "Solid";curveColor "[flat::RGB:0000000000]";curveStyle "Line";valid_file "T";tempfilename 'FS541T04.wmf';tempfile-properties "XPR";}} \vspace{1pt}We will set up the integration in two ways. Consider first \begin{equation*} \iint_{R}x^{2}y^{3}dxdy \end{equation*} Taking a horizontal strip parallel to the $x-$axis we see that $x$ goes from the $y-$axis to the line $x=y,$ whereas $y$ goes from $0$ to $1.$ Thus \begin{equation*} \iint_{R}x^{2}y^{3}dxdy=\int_{0}^{1}\int_{0}^{y}x^{2}y^{3}dxdy=\dfrac{1}{21} \end{equation*} If we now consider \begin{equation*} \iint_{R}x^{2}y^{3}dydx \end{equation*} then using a vertical strip parallel to the $y-$axis we see that $y$ goes from the line $y=x$ to $1.$ so we have \begin{equation*} \iint_{R}x^{2}y^{3}dydx=\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}x^{2}y^{3}dydx=\dfrac{1}{21} \end{equation*} \begin{example} \end{example} Find the volume of the solid whose base is in the $x,y-$plane and is the triangle bounded by the $x-$axis, the line $y=x$ and the line $x=1$, while the top of the solid is the plane $z=x+y+1$. \begin{center} \vspace{1pt}\FRAME{dtbpF}{3.1496in}{2.3947in}{0pt}{}{}{volume.gif}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.1496in;height 2.3947in;depth 0pt;original-width 5.0004in;original-height 3.7913in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/volume.gif';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt}$dV=f(x,y)dA=(x+y+1)dx$ $dy=(x+y+1)dy$ $dx$ \vspace{1pt}Thus \begin{equation*} V=\int \int\limits_{R}(x+y+1)dA \end{equation*} where $R$ is the base of the solid which is shown below. \begin{center} \FRAME{dtbpF}{3.1401in}{2.4785in}{0pt}{}{}{base.gif}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.1401in;height 2.4785in;depth 0pt;original-width 5.0004in;original-height 3.9375in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/base.gif';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} \end{center} The boundaries of $R$\ are $y=0,y=x,$ and $x=1$. Hence \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} V &=&\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}(x+y+1)dydx=\int_{0}^{1}\left[ xy+\dfrac{y^{2}}{% 2}+y\right] _{0}^{x}dx=\int_{0}^{1}\left[ x^{2}+\dfrac{x^{2}}{2}+x\right] dx \\ &=&\int_{0}^{1}\left( \frac{3}{2}x^{2}+x\right) dx=\left[ \dfrac{3}{2}\dfrac{% x^{3}}{3}+\dfrac{x^{2}}{2}\right] _{0}^{1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1. \end{eqnarray*} $\vspace{1pt}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $ \vspace{1pt} Note that another expression for the volume is \begin{equation*} V=\int_{0}^{1}\int_{y}^{1}(x+y+1)dxdy. \end{equation*} \vspace{1pt}\vspace{1pt} \subsection{Properties of Double Integrals} Double integrals have the same properties as integrals of one variable. For example, if $c_{1}$ and $c_{2}$ are constants, then \begin{center} $\int \int\limits_{R}\lbrack c_{1}f(x,y)+c_{2}g(x,y)\rbrack dA=c_{1}\int \int\limits_{R}f(x,y)dA+c_{2}\int \int\limits_{R}g(x,y)dA$. \end{center} \paragraph{Example:} \begin{description} \item[$\left( 1\right) $] $\int_{-1}^{5}\int_{x-1}^{x}\left( 4xe^{y}-3y\sin x\right) dydx=\allowbreak -\frac{1}{2}\left( -32+32e^{-1}+6\left( \sin 5\right) e^{-5}-27\left( \cos 5\right) e^{-5}-16e^{-6}+16e^{-7}+6\left( \sin 1\right) e^{-5}-9\left( \cos 1\right) e^{-5}\right) \allowbreak e^{5}\allowbreak $ \end{description} \vspace{1pt} whereas \begin{description} \item[$\left( 2\right) $] $4\int_{-1}^{5}\int_{x-1}^{x}xe^{y}dydx=% \allowbreak -8\left( -2+2e^{-1}-e^{-6}+e^{-7}\right) e^{5}$ \end{description} and \begin{description} \item[$\left( 3\right) $] $-3\int_{-1}^{5}\int_{x-1}^{x}y\sin xdydx=\allowbreak -3\sin 5+\frac{27}{2}\cos 5-3\sin 1+\frac{9}{2}\cos 1$ \end{description} Adding the results given by $\left( 2\right) $ and $\left( 3\right) $ gives $% \left( 1\right) $ after a bit of algebra. \vspace{1pt} If $R$ is a closed region which can be decomposed into regions $R_{1}$ and $% R_{2}$ and $f$ is continuous over $R$, then \vspace{1pt} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $\int \int\limits_{R}f(x,y)dA=\int \int\limits_{R_{1}}f(x,y)dA+\int \int\limits_{R_{2}}f(x,y)dA$. \begin{example} \end{example} Let $R$ be the triangular region shown below consisting of the triangles $% R_{1}$ and $R_{2}.$ \begin{center} \vspace{1pt}\FRAME{dtbpF}{3.0986in}{3.5155in}{0pt}{}{}{regions.bmp}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.0986in;height 3.5155in;depth 0pt;original-width 5.3333in;original-height 3.9998in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/regions.bmp';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} \end{center} We shall show that \begin{equation*} \iint_{R}x^{2}y^{3}dA=\iint_{R_{1}}x^{2}y^{3}dA+\iint_{R_{2}}x^{2}y^{3}dA \end{equation*} \vspace{1pt}Now \begin{equation*} \iint_{R}x^{2}y^{3}dA=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}x^{2}y^{3}dxdy=\allowbreak \frac{1}{12} \end{equation*}% or \begin{equation*} \iint_{R}x^{2}y^{3}dA=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}x^{2}y^{3}dydx=\allowbreak \frac{1}{12} \end{equation*} \vspace{1pt} The triangle $R_{1}$ is given by $0\leq x\leq y,0\leq y\leq 1$ so \begin{equation*} \iint_{R_{1}}x^{2}y^{3}dA=\int_{0}^{1}\int_{0}^{y}x^{2}y^{3}dxdy=\allowbreak \frac{1}{21} \end{equation*} or \begin{equation*} \iint_{R_{1}}x^{2}y^{3}dA=\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}x^{2}y^{3}dydx=\allowbreak \frac{1}{21} \end{equation*} \vspace{1pt} Triangle $R_{2}$ is given by $0\leq y\leq x,0\leq x\leq 1$ so \begin{equation*} \iint_{R_{2}}x^{2}y^{3}dA=\int_{0}^{1}\int_{y}^{1}x^{2}y^{3}dxdy=\allowbreak \frac{1}{28} \end{equation*} or \begin{equation*} \iint_{R_{2}}x^{2}y^{3}dA=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}x^{2}y^{3}dydx=\allowbreak \frac{1}{28} \end{equation*} Finally $\frac{1}{21}+\frac{1}{28}=\allowbreak \frac{1}{12},$ which is the result we got before. \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/lec_3_27_00.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/graphics/function.wmf %%%%%%%%%%%%%%%% WwlqZB@@XbOd}wfUG@zC@@@@@PRnF@@I@@@CdtB@@pA@hX@@@@@@P@@@@p@A`@@E@@@@l`@@@@ @@T@@@@@CBD@@A@@A@@@@CD@B@T@@@@pBB@@@@@PA@@@@LHP@@D@@E@@@@p`@OwB`~T@@@@pBB@ @@@@@A@@@@FDP@@P@@@@`AAH@@D@@@@XP@B@pA@@@@|K@@@@@@@@@@@P@@@@PKA@@@I@@@@ho@E @@@@@@@@HB@D@@@@tR@A@@D@@@@dL`A@@KNZHBlxh]HLA`vapD@[IBlxleHpbcFb\@@@@@ B@@@@@@@D@@@@tR@B@PB@@@@zK@@@@@@@@@@@@@@b@@A@@@@mDp@@P@@@@`AAH@@D@@@@XP @A@@A@@@@mD@@@P@@@@PKAD@@JD@@@Pr@CB@pzhaHfZCV`hjM_ARkvXFHpZS[`PkMtArmvlGHzZ c``tkMIBRpv@IHD[se`\lM_BRrvXJHL[Sk`|lMtBbtvlKHU[cp`\mMICbvv@MH][su`|mM^CRxv TNHd[C{`XnMsCBzvhOHk[S@atnMHDr{v|PHq[cEaLoM]DR}vPRHw[sJadoMrDr~vdSH|[CPaxoM GEB@wxTHA\SUaLpM\EBAwLVHE\cZa\pMqEBBwdWHI\C`alpMGFBCwxXHM\SeaxpM\FrCwLZHP\c ja@qMqFRDw`[HR\soaLqMFGrDwt\HT\CuaPqM[GREwH^HU\SzaXqMpGbEw\_HV\caXqMEHrEwp `HW\sDb\qMZHrEwDbHW\CJbXqMoHbEwXcHV\SObXqMDIREwldHU\sTbPqMZIBEwDfHS\CZbLqMo IbDwXgHQ\S_b@qMDJBDwlhHO\cdbxpMYJRCw@jHL\siblpMnJRBwTkHH\Cob\pMCKRAwhlHD\St bLpMXKR@w|mH@\cybxoMmKBvPoH{[s~bdoMBLr}vdpHu[CDcLoMWLR|vxqHo[SIctnMmLrzvPs Hh[sNcXnMBMByvdtHa[CTc|mMWMRwvxuHZ[SYc\mMlMRuvLwHR[c^c|lMANBsv`xHI[scc\lMVN BqvtyHA[CictkMkNbnvH{HwZSncPkM@OBlv\|HmZcschjMUObivp}H@kcFbP@@@@PKAH@@D@@@@ tR@C@@A@@@@FD`@@P@@@@`AAD@@U@@@@lo@[fodB@@@@@@dAD@@@@pA@H`DTeV[eMGHNUv]`Hu[ mEf[@PoQD@@@@tR@D@@D@@@@{K@E@d@@@@@@@pk@@@@@@D`@BHrTyMG]euF@nQ@@@@PKAT@@D@@ @@tR@D@PC@@@@{K@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@D@@LP@@@@PKAX@@D@@@@@_@D@PE@@@@{KpfyK i@@@@@@@Y@A@@@@\@@BHAUiuVYsAbSe]GHR}V[ayF@TKDA@@@@mD@A@T@@@@PBB@@@@@@A@@@@n D@F@P@@@@`@AD@@I@@@@HcBEUp`@D@@@@P^@@lND@@@@tR@E@@A@@@@pG@A@TA@@@p~BlY~RJ@@ @@@@PFP@@@@@G@`@RPUZmUv\`xTYwAbTouVXnA@uBQ@@@@PKAP@@D@@@@tR@E@@A@@@@mD@A@P@ @@@PKAT@@D@@@@@_@D@PE@@@@{KpfyKi@@@@@@@Y@A@@@@\@@BHAUiuVYsAbSe]GHR}V[ayF@t[ 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