%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                                                     %
%              Scientific Word   Wrap/Unwrap  Version 2.5             %
%              Scientific Word   Wrap/Unwrap  Version 3.0             %
%                                                                     %
% If you are separating the files in this message by hand, you will   %
% need to identify the file type and place it in the appropriate      %
% directory.  The possible types are: Document, DocAssoc, Other,      %
% Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files      %
% tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file    %
% directory.  Macro files go into your TeX macros directory. Style    %
% files are used by Scientific Word and do not need to be extracted.  %
% Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a       %
% graphics directory.                                                 %
%                                                                     %
% Graphic files need to be converted from the text format (this is    %
% done for e-mail compatability) to the original 8-bit binary format. %
%                                                                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                                                     %
% Files included:                                                     %
%                                                                     %
% "/document/lec_2_7_00.tex", Document, 44772, 2/9/2000, 10:50:14, "" %
% "/document/graphics/maroon0.wmf", ImportPict, 4444, 12/27/1999, 14:32:44, ""%
% "/document/graphics/lim1.wmf", ImportPict, 2650, 12/27/1999, 14:57:00, ""%
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% "/document/graphics/lim2.wmf", ImportPict, 2974, 12/27/1999, 14:57:00, ""%
% "/document/graphics/lim3.wmf", ImportPict, 2974, 12/27/1999, 14:57:02, ""%
% "/document/graphics/lim4.wmf", ImportPict, 2934, 12/27/1999, 14:57:02, ""%
% "/document/graphics/maroonD.wmf", ImportPict, 4444, 12/27/1999, 14:54:56, ""%
% "/document/graphics/maroon6.wmf", ImportPict, 4444, 12/27/1999, 20:52:54, ""%
% "/document/graphics/maroon7.wmf", ImportPict, 4444, 12/27/1999, 20:52:54, ""%
%                                                                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/lec_2_7_00.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\newtheorem{theorem}{Theorem}
%\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
%\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
%\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
%\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
%\newtheorem{example}[theorem]{Example}
%\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
%\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
%\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
%\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}


\documentclass{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}

%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Created=Thursday, May 06, 1999 09:11:45}
%TCIDATA{LastRevised=Wednesday, February 09, 2000 05:50:12}
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%F=36,\PARA{038<p type="texpara" tag="Body Text" >\hfill \thepage}
%}


\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
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\newenvironment{proof}[1][P
roof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\input{tcilatex}

\begin{document}


\section{\protect\vspace{1pt}Ma 116 Lecture 2/7/00}

\section{Sequences}

\vspace{0in}Please note that in addition to the material below this lecture
incorporated material from the Visual Calculus web site. The material on
sequences is at \hyperref{Visual Sequences}{}{}{%
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/6/}. (To use this link hold
down the Ctrl key and click.)

\subsection{ Definition}

\vspace{0in}

\begin{definition}
\vspace{1pt}A \emph{sequence} is simply an \emph{ordered list of numbers},
and the numbers in the list are called the \emph{terms} of the sequence. \
There may be a finite or an infinite number of terms. \ If we don't say
whether it is a finite or infinite sequence, we normally mean an infinite
sequence.
\end{definition}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename
'graphics/maroon0.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\begin{example}
Each of the following lists is a sequence:
\end{example}

\begin{center}
\begin{tabular}{llll}
1. & $1,2,3,4,5,\cdots $ & The counting numbers. & An infinite sequence. \\ 
2. & $10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0$ & Blast Off! & A finite sequence. \\ 
3. & $3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,\cdots $ & The digits of $\pi $. & An infinite
sequence. \\ 
4. & $1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{16},\dfrac{1}{32}%
,\cdots $ & Keep halving. & An infinite sequence.%
\end{tabular}
\end{center}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename
'graphics/maroon0.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}In general, we denote the terms of a sequence as a letter with
an integer subscript:

\qquad $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\cdots $

and we frequently give a formula for the $n^{\text{th}}$ term. \ For
example, the terms of the sequence, \ $b_{n}=\dfrac{1}{2n+1}$ \ for $%
n=1,2,3,\cdots $\ are

\qquad $b_{1}=\dfrac{1}{3},\;b_{2}=\dfrac{1}{5},\;b_{3}=\dfrac{1}{7},\;b_{4}=%
\dfrac{1}{9},\;\cdots $

Normally the terms are counted starting from $n=1$, as above, but they can
start from any number:

\vspace{1pt}Remark: Another definition of a sequence is

\begin{definition}
A \emph{sequence} is a set of numbers which has a one-to-one correspondence
with the natural numbers.
\end{definition}

\paragraph{\protect\vspace{1pt}}

\begin{exercise}
Write out the first $5$ terms of the sequence $a_{n}=\dfrac{n}{n-1}$ for $%
n=2,3,4,\cdots \;$\dotfill 
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{%
}{}]{Margin Hint}{$a_{n}=\dfrac{n}{n-1}$ for $n=2,3,4,\cdots $%
\par
$a_{2}=\dfrac{2}{1},\;a_{3}=\dfrac{3}{2},\;a_{4}=\dfrac{4}{3},\;a_{5}=\dfrac{%
5}{4},\;a_{6}=\dfrac{6}{5}\;\cdots $%
\par
\vspace{1pt}
\par
Why did we start from $n=2$?}
\end{exercise}

\vspace{1pt}

To indicate an entire sequence, we enclose the general term in braces: \ $%
\left\{ a_{n}\right\} $ \ If necessary, we can also indicate the range of
the index: \ $\left\{ a_{n}\right\} \rule[-0.05in]{0in}{0.18in}%
_{n=1}^{\infty }$ \ For example, the sequence in the preceding example would
be denoted $\left\{ \dfrac{n}{n-1}\right\} _{n=2}^{\infty }$.

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.5008";cropright "1";cropbottom "0.4992";filename
'graphics/maroon0.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\begin{center}
\vspace{1pt}
\end{center}

\paragraph{\textbf{Examples and Notations:}}

$\{a_{n}\}_{n=m}^{\infty }$ denotes the sequence starting at $a_{m}$. Thus

\begin{equation*}
{\Large \{}\frac{1}{2^{n}}{\Large \}}_{n=2}^{\infty }{\Large =}\left\{ \frac{%
1}{4}{\Large ,}\frac{1}{8}{\Large ,}\frac{1}{16}{\Large ,...}\right\}
\end{equation*}

\begin{equation*}
{\Large \{}\frac{(-1)^{n}}{n!}{\Large \}}_{n=3}^{\infty }{\Large =}\left\{ 
\frac{-1}{3!}{\Large ,}\frac{1}{4!}{\Large ,}\frac{-1}{5!}{\Large ,...}%
\right\}
\end{equation*}

Not all sequences can be defined in the above manner. \ For example, let $%
a_{n}$ be the digit in the $n^{th}$ decimal place of the number $\pi $. \
Then $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ is a sequence whose first few terms are $%
\{1,4,1,5,9,...\}$.

\textbf{Definition:} \ A \emph{sequence} is a set of numbers which has a
one-to-one correspondence with the natural numbers.

\vspace{1pt}\vspace{0in}\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf%
}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display
"PICT";valid_file "F";width 4.2653in;height 0.0701in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.1232";cropright "1";cropbottom "0.8768";filename
'graphics/maroon0.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\subsection{ Limits}

\vspace{0in}

The limit of the sequence $a_{n}$, denoted $\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}a_{n}$, \ tells what number the terms are approaching as we go further and
further out in the sequence (as $n$ gets arbitrarily large.)

\begin{tabular}{l}
For example, the plot of the \\ 
sequence $a_{n}=\dfrac{2n+1}{n}$\ is\quad $\Longrightarrow $ \\ 
As $n$ gets larger, the terms $a_{n}$ \\ 
are approaching $2$. \ So we \\ 
write \\ 
$\quad \lim\limits_{n\rightarrow \infty }a_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow
\infty }\dfrac{2n+1}{n}=2$.%
\end{tabular}
\allowbreak \FRAME{itbpF}{3.039in}{2.0358in}{1.0032in}{}{}{lim1.wmf}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 3.039in;height 2.0358in;depth
1.0032in;original-width 217.625pt;original-height 145.125pt;cropleft
"0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'graphics/lim1.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename
'graphics/maroon3.wmf';file-properties "XNPEU";}}

When we are given a sequence, the typical questions we ask are: ``Does the
sequence have a limit?'' \ ``If so, what is the limit of the sequence?'' \ \
For now and for most purposes, the following will suffice:

\vspace{1pt}

\begin{definition}
The sequence \emph{has a limit} if the terms $a_{n}$ get closer and closer
to a \textsl{finite} number $L$ as $n$ gets arbitrarily large. \ In that
case, we say $L$ is the limit and we write $\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}a_{n}=L$.

If a sequence has a limit $L$, we say it is \emph{convergent} and that it 
\emph{converges to} $L$.

If a sequence does not have a limit, we say it is \emph{divergent} or that
it \emph{diverges}.
\end{definition}

\vspace{1pt}

If the sequence does not have a limit, it may still have an infinite limit.
\ 

\vspace{1pt}

\begin{definition}
If the terms $a_{n}$ get\emph{\ arbitrarily large and positive} as $n$ gets
arbitrarily large, then we say the limit is \emph{positive infinity} and
write $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }a_{n}=\infty $. \ We also say the
sequence \emph{diverges to} $\infty $.\qquad \fbox{\underline{%
\CustomNote[Example]{Margin Hint}{%
The sequence $a_{n}=1+\sqrt{n}$ diverges to $\infty $ because $1+\sqrt{n}$
gets arbitrarily large and positive as $n$ gets large. \ Its plot is: 
\par
\qquad \FRAME{itbpF}{2.0358in}{2.0358in}{0in}{}{}{lim2.wmf}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.0358in;height 2.0358in;depth
0in;original-width 0pt;original-height 0pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'graphics/lim2.wmf';file-properties "XNPEU";}}}}}

If the terms $a_{n}$ get \emph{arbitrarily large and negative} as $n$ gets
arbitrarily large, then we say the limit is \emph{negative infinity} and
write $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }a_{n}=-\infty $. \ We also say the
sequence \emph{diverges to} $-\infty $.\qquad \fbox{\underline{%
\CustomNote[Example]{Margin Hint}{%
The sequence $a_{n}=1-\sqrt{n}$ diverges to $-\infty $ because $1-\sqrt{n}$
gets arbitrarily large and negative as $n$ gets large. \ Its plot is: 
\par
\qquad \FRAME{itbpF}{2.0358in}{2.0358in}{0in}{}{}{lim3.wmf}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.0358in;height 2.0358in;depth
0in;original-width 0pt;original-height 0pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'graphics/lim3.wmf';file-properties "XNPEU";}}}}}
\end{definition}

\vspace{1pt}

To say that the limit is positive or negative infinity does \textsl{not} say
that the limit exists! \ It merely says the \textsl{way} in which it does
not exist, i.e. the \textsl{way} in which it \textsl{diverges}.

\vspace{1pt}

\textsl{Note:} \ It is certainly possible to diverge without diverging to $%
\infty $ or $-\infty $.\qquad \fbox{\underline{%
\CustomNote[Example]{Margin Hint}{%
The sequence $a_{n}=\left( -1\right) ^{n}+\dfrac{1}{n}$ has the plot 
\par
\FRAME{itbpF}{3.5405in}{1.5333in}{0in}{}{}{lim4.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 3.5405in;height 1.5333in;depth
0in;original-width 0pt;original-height 0pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'graphics/lim4.wmf';file-properties "XNPEU";}} 
\par
Since the terms oscillate between numbers which get closer to $1$ and
numbers which get closer to $-1$, the sequence does not converge; it
diverges. \ However, it does not diverge to $\infty $ or $-\infty $. \ We
say it is \emph{oscillatory divergent}.}}}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename
'graphics/maroon3.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}

In general, the process of finding the limit of a sequence is essentially
the same as finding the limit of a continuous function or finding its
horizontal asymptote. \ Examples appear on subsequent pages.

\subsection{\protect\vspace{0in}Precise Definition of Limits}

\vspace{0in}

We previously said that $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }a_{n}=L$ means
that the terms $a_{n}$ get arbitrarily close to a\ finite number $L$ as $n$
gets arbitrarily large. \ We now make this more precise by explaining the
use of the word ``arbitrarily.'' \ The idea we want is: if we specify how
close to $L$ the terms $a_{n}$ should be (called an \emph{output tolerance})
then for the part of the sequence beyond some point (called a \emph{tail of
the sequence}), the terms are all within that tolerance. \ The output
tolerance is denoted by epsilon $\left( \varepsilon \right) $ and the tail
of the sequence begins with some term $a_{N}$ whose index is $n=N$.

\vspace{1pt}

\begin{definition}
We say the \emph{limit} of the sequence $\left\{ a_{n}\right\} $ \emph{exists%
} and is \emph{equal to} a \textsl{finite} number $L$ and we write\qquad $%
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }a_{n}=L$\qquad to mean:

\qquad \qquad For all $\varepsilon >0$, there is an integer $N$ such that 
\emph{if} $n\geq N$ \emph{then} $\left| a_{n}-L\right| <\varepsilon $%
.\medskip

If a sequence has a limit $L$, we say it is \emph{convergent} and that it 
\emph{converges to} $L$.

If a sequence does not have a limit, we say it is \emph{divergent} or that
it \emph{diverges}.
\end{definition}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename
'graphics/maroonD.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}

We also need a precise definition of an infinite limit. \ The idea here is
that the terms $a_{n}$ get larger than any specified number $M$\ and after
some point the terms stay larger than $M$.

\vspace{1pt}

\begin{definition}
We say the limit of the sequence $\left\{ a_{n}\right\} $ is \emph{positive
infinity} and we write\qquad $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }a_{n}=\infty 
$\qquad to mean:

\qquad \qquad For all $M>0$, there is an integer $N$ such that \emph{if} $%
n\geq N$ \emph{then} $a_{n}>M$.\medskip

We say the limit of the sequence $\left\{ a_{n}\right\} $ is \emph{negative
infinity} and we write\qquad $\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}a_{n}=-\infty $\qquad to mean:

\qquad \qquad For all $M<0$, there is an integer $N$ such that \emph{if} $%
n\geq N$ \emph{then} $a_{n}<M$.
\end{definition}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.5008";cropright "1";cropbottom "0.4992";filename
'graphics/maroonD.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}

Intuitively the definition is telling us that if a sequence $\left\{
a_{n}\right\} $ has a limit $L,$ then the numbers $a_{N+1},a_{N+2},...$ get
as close as we want to $L$ provided $N$ is large enough.

\begin{example}
\vspace{1pt}
\end{example}

\paragraph{}

Find \ $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{2n}{3n+1}.$ 
\begin{equation*}
\ \text{ \ }\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\frac{2n}{3n+1}{\Large =}%
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{2}{3+\dfrac{1}{n}}{\Large =}\frac{2%
}{3}
\end{equation*}

\subsection{ Limit Laws}

\vspace{0in}

\begin{proposition}
Let $a_{n}$ and $b_{n}$ be sequences for which $\lim\limits_{n\rightarrow
\infty }a_{n}=L$ and $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }b_{n}=M$ where $L$
and $M$ are finite.\ Then:

\begin{enumerate}
\item \textsl{Addition Law:\qquad \quad }$\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}[a_{n}+b_{n}]=L+M$\qquad \qquad

\item \textsl{Subtraction Law:\quad\ }$\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}[a_{n}-b_{n}]=L-M$\qquad \qquad

\item \textsl{Product Law:\qquad \quad\ }$\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}a_{n}\,b_{n}=LM$\qquad \qquad

\item \textsl{Quotient Law:\qquad \quad }$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }%
\dfrac{a_{n}}{b_{n}}=\dfrac{L}{M}$, provided $b_{n}\neq 0$ for all $n$ and $%
M\neq 0$\qquad \qquad

\item \textsl{Power Law:\qquad \qquad\ }$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }%
\left[ b_{n}\right] ^{a_{n}}=M^{L}$, provided $\left[ b_{n}\right] ^{a_{n}}$
is defined for all $n$ and $M^{L}$ is defined\qquad \qquad

\item \textsl{Continuous Function Law:\quad }$\lim\limits_{n\rightarrow
\infty }f\left( a_{n}\right) =f\left( L\right) $, where $f\left( x\right) $
is any function which is continuous at $L$
\end{enumerate}
\end{proposition}

In words, we say:

\begin{enumerate}
\item ``The limit of a sum is the sum of the limits.''

\item ``The limit of a difference is the difference of the limits.''

\item ``The limit of a product is the product of the limits.''

\item ``The limit of a quotient is the quotient of the limits, provided the
denominator is non-zero.''

\item ``The limit of a power is the power of the limits, provided the terms
and result are defined.''

\item ``The limit of a continuous function of a sequence is the function of
the limit of the sequence.''$\bigskip $
\end{enumerate}

\vspace{1pt}

\begin{remark}
Parts (3), (4) and(5) of the proposition include the special cases:

$\qquad \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left[ c\,a_{n}\right] \,=cL$,$%
\qquad \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{1}{b_{n}}=\dfrac{1}{M}$,$%
\qquad \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left[ b_{n}\right] ^{p}=M^{p}$,$%
\qquad \lim\limits_{n\rightarrow \infty }c^{a_{n}}=c^{L}$

where $c$ and $p$ are constants. \ These say

\begin{enumerate}
\item ``The limit of a constant times a sequence is the constant times the
limit of the sequence.

\item ``The limit of the reciprocal of a sequence is the reciprocal of the
limit of the sequence.

\item ``The limit of a power of a sequence is the power of the limit of the
sequence.

\item ``The limit of a number raised to a sequence of powers is the number
raised to the limit of the sequence.
\end{enumerate}
\end{remark}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
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1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename
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\vspace{1pt}

In general, to compute a limit, we repeatedly apply the Limit Rules until we
get down to the Special Limits.

\subsection{ Limit Laws --- Examples}

\vspace{0in}

In general, the process of finding the limit of a sequence is essentially
the same as finding the limit at infinity of a continuous function. \
Primarily, we repeatedly apply the Limit Rules until we get down to the
Special Limits. \ If there is a condition to check, assume it holds and
check it at the end.\qquad

\vspace{1pt}

\begin{example}
Compute $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{4+\dfrac{5}{n}-\dfrac{2}{%
n^{2}}}{3+\dfrac{4}{n}}$.
\end{example}

\emph{Solution:} \ We use two column format to give the reasons:

$\qquad 
\begin{array}{ll}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{4+\dfrac{5}{n}-\dfrac{2}{n^{2}}}{3+%
\dfrac{4}{n}}=\dfrac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 4+\dfrac{5}{n}-%
\dfrac{2}{n^{2}}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 3+\dfrac{4%
}{n}\right) }\qquad & 
\begin{tabular}{l}
The limit of a quotient is the quotient of the limits \\ 
provided the limit of the denominator is non-zero.%
\end{tabular}
\\ 
\qquad =\dfrac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }4+\lim\limits_{n\rightarrow
\infty }\dfrac{5}{n}-\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{2}{n^{2}}}{%
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }3+\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{%
4}{n}} & 
\begin{tabular}{l}
The limit of a sum is the sum of the limits. \\ 
The limit of a difference is the difference of the limits.%
\end{tabular}
\\ 
\qquad =\dfrac{4+5\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{1}{n}%
-2\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{1}{n^{2}}}{3+4\lim\limits_{n%
\rightarrow \infty }\dfrac{1}{n}} & 
\begin{tabular}{l}
The limit of a constant sequence is the constant. \\ 
The limit of a constant times a sequence is the constant \\ 
\qquad times the limit of the sequence.%
\end{tabular}
\\ 
\qquad =\dfrac{4+5\cdot 0-2\cdot 0}{3+4\cdot 0} & \lim\limits_{n\rightarrow
\infty }\dfrac{1}{n^{p}}=0\text{\qquad for }p=1,2 \\ 
\qquad =\dfrac{4}{3} & \text{Simplify}%
\end{array}
$

The limit of the denominator came out to be $3$. \ So the quotient law is
justified.

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1pt;cropleft "0";croptop "0.2561";cropright "1";cropbottom "0.7439";filename
'graphics/maroon6.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}

\begin{example}
Compute $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\cos \left( \dfrac{\sqrt{2+n^{-3}}%
}{n}\right) $.
\end{example}

\emph{Solution:} \ We use two column format to give the reasons:

$\qquad 
\begin{array}{ll}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\cos \left( \dfrac{\sqrt{2+n^{-3}}}{n}%
\right) =\cos \left( \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\sqrt{2+n^{-3}}%
}{n}\right) & 
\begin{tabular}{l}
The limit of a continuous function of a sequence is the \\ 
continuous function of the limit of the sequence.%
\end{tabular}
\\ 
\qquad =\cos \left( \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{1}{n}\cdot
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sqrt{2+n^{-3}}\right) & \text{The limit
of a product is the product of the limits.} \\ 
\qquad =\cos \left( 0\cdot \sqrt{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left(
2+n^{-3}\right) }\right) & 
\begin{tabular}{l}
$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{1}{n^{p}}=0$\qquad with $p=1$. \\ 
The limit of a power is the power of the limit.%
\end{tabular}
\\ 
\qquad =\cos \left( 0\cdot \sqrt{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}2+\lim\limits_{n\rightarrow \infty }n^{-3}}\right) & \text{The limit of a
sum is the sum of the limits.} \\ 
\qquad =\cos \left( 0\cdot \sqrt{2+0}\right) & 
\begin{tabular}{l}
The limit of a constant sequence is the constant. \\ 
$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }n^{p}=0\qquad $with $p=-3$.%
\end{tabular}
\\ 
\qquad =\cos \left( 0\right) =1 & \text{Simplify}%
\end{array}%
$\qquad

\vspace{0in}

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1pt;cropleft "0";croptop "0.5008";cropright "1";cropbottom "0.4992";filename
'graphics/maroon6.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\begin{example}
\vspace{1pt}Find$\ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\cos \left( \dfrac{n\pi 
}{2}\right) .$
\end{example}

\emph{Solution:}

$\cos \left( \dfrac{n\pi }{2}\right) =\left\{ 
\begin{array}{cc}
0 & \text{if }n\text{ is odd} \\ 
1 & \text{if }n\text{ is even and }n/2\text{ is even} \\ 
-1 & \text{if }n\text{ is even and }n/2\text{ is odd}%
\end{array}%
\right. $ Thus values of the sequence change from $0$ to $1\ $to $-1$ an
infinite number of times. 
\begin{equation*}
\ \text{This limit does not exist}.
\end{equation*}

\vspace{1pt}

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The Limit Laws may be extended to the case of infinite limits with obvious
extensions to the rules of arithmetic (like $\dfrac{1}{\pm \infty }=0$),
with the exception that the expressions (called \emph{indeterminate forms})

\begin{center}
$\dfrac{0}{0},\allowbreak $\qquad $\dfrac{\infty }{\infty },\allowbreak
\qquad 0\cdot \infty ,\allowbreak \qquad \infty -\infty ,\allowbreak \qquad
0^{0},\allowbreak $\qquad $1^{\infty },\allowbreak $\qquad $\infty
^{0},\allowbreak \qquad \dfrac{1}{0},\allowbreak $\qquad and\qquad $\dfrac{%
\infty }{0}$
\end{center}

are still undefined. \ When the limit has an indeterminate form, the Limit
Laws do not apply directly. \ In that case, we first need to algebraically
manipulate the limit before applying the Limit Laws.

\subsection{Limits of Indeterminate Forms}

\vspace{0in}

In general, the process of finding the limit of a sequence is essentially
the same as finding the limit at infinity of a continuous function. \
Primarily, we repeatedly apply the Limit Rules until we get down to the
Special Limits. \ However, when the Limit Laws do not apply, we may need to
algebraically manipulate the limit before applying the Limit Laws. \ This
occurs when the limit has one of the indeterminate forms. \ There are five
classes of indeterminate forms:

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{0}{0}$ or $\dfrac{\infty }{\infty }$

\item $0\cdot \infty $

\item $\infty -\infty $

\item $0^{0}$ or $1^{\infty }$\ or $\infty ^{0}$

\item $\dfrac{1}{0}$ or $\dfrac{\infty }{0}$
\end{enumerate}

Each has an appropriate trick for simplifying the limit.

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
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1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename
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\vspace{1pt}

\subsubsection{Indeterminate Forms $\dfrac{0}{0}$ or $\dfrac{\infty }{\infty 
}$:}

\emph{Procedure:} \ Divide the numerator and denominator by the largest term
in the denominator.

\qquad \qquad \quad Alternatively, if the sequence is the values of a
differentiable function, then you may apply l'Hospital's Rule.

\vspace{1pt}

\begin{example}
Compute $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{3n^{2}}{2n^{2}+\left(
-1\right) ^{n}n}$.
\end{example}

\emph{Solution:} \ This has the indeterminant form $\dfrac{\infty }{\infty }$%
. \ So we divide the numerator and denominator by $n^{2}$:

\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{3n^{2}}{2n^{2}+\left( -1\right)
^{n}n} &=&\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{3n^{2}}{2n^{2}+\left(
-1\right) ^{n}n}\cdot \dfrac{\dfrac{1}{n^{2}}}{\dfrac{1}{n^{2}}} \\
&=&\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{3}{2+\dfrac{\left( -1\right) ^{n}%
}{n}}=\dfrac{3}{2+0}=\dfrac{3}{2}
\end{eqnarray*}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
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1pt;cropleft "0";croptop "0.5008";cropright "1";cropbottom "0.4992";filename
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\begin{example}
Compute $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\ln n}{n}$.
\end{example}

\emph{Solution:} \ This has the indeterminant form $\dfrac{\infty }{\infty }$%
. \ Notice that $f\left( x\right) =\dfrac{\ln x}{x}$ is a differentiable
function and our sequence is $f\left( n\right) =\dfrac{\ln n}{n}$. So we use
l'Hospital's Rule:

\begin{center}
$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\ln n}{n}=\lim\limits_{x%
\rightarrow \infty }\dfrac{\ln x}{x}\overset{\text{l'H}}{=}%
\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{\dfrac{1}{x}}{1}=\dfrac{0}{1}=0$
\end{center}

\begin{remark}
In practice, we do not switch variables and simply regard $n$ as a
continuous variable:
\end{remark}

\begin{center}
$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\ln n}{n}\overset{\text{l'H}}{=}%
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\dfrac{1}{n}}{1}=\dfrac{0}{1}=0$
\end{center}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
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4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename
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\vspace{1pt}

\begin{exercise}
Compute $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\dfrac{4}{n^{2}}-\dfrac{9}{%
n^{3}}}{\dfrac{2}{n^{2}}+\dfrac{3}{n^{3}}}$\dotfill 
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{%
}{}]{Margin Hint}{$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\dfrac{4}{n^{2}}-%
\dfrac{9}{n^{3}}}{\dfrac{2}{n^{2}}+\dfrac{3}{n^{3}}}=2$}...%
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETSolution}{0.1609in}{0.1609in}{0in}}{%
}{}{}]{Margin Hint}{$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\dfrac{4}{n^{2}%
}-\dfrac{9}{n^{3}}}{\dfrac{2}{n^{2}}+\dfrac{3}{n^{3}}}$ has the
indeterminate form $\dfrac{0}{0}$. \ When $n$ is large, $\dfrac{3}{n^{3}}$
is smaller than $\dfrac{2}{n^{2}}$. \ So the largest term in the denominator
is $\dfrac{2}{n^{2}}$. \ So we divide the top and bottom by $\dfrac{1}{n^{2}}
$, or equivalently, we multiply the top and bottom by $n^{2}$:
\par
\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\dfrac{4}{n^{2}}-\dfrac{9}{n^{3}}}{%
\dfrac{2}{n^{2}}+\dfrac{3}{n^{3}}}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{%
\dfrac{4}{n^{2}}-\dfrac{9}{n^{3}}}{\dfrac{2}{n^{2}}+\dfrac{3}{n^{3}}}\cdot 
\dfrac{\rule[-0.1in]{0in}{0.3in}n^{2}}{\rule[-0.1in]{0in}{0.3in}n^{2}} \\
=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{4-\dfrac{9}{n}}{2+\dfrac{3}{n}}=%
\dfrac{4}{2}=2
\end{eqnarray*}%
}
\end{exercise}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
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4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename
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\vspace{1pt}

\subsubsection{Indeterminate Form $0\cdot \infty $:}

\emph{Procedure:} \ Rewrite it as $\dfrac{0}{0}$ or $\dfrac{\infty }{\infty }
$.

\vspace{1pt}

\begin{example}
Compute $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \dfrac{1}{n\rule%
{0in}{0.12in}}-\dfrac{1}{n^{2}}\right) \left( n^{2}+n\right) $.
\end{example}

\emph{Solution:} \ This has the indeterminant form $0\cdot \infty $. \ So we
put the first term over a common denominator:

\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \dfrac{1}{n\rule{0in}{0.12in}}-%
\dfrac{1}{n^{2}}\right) \left( n^{2}+n\right) &=&\lim\limits_{n\rightarrow
\infty }\left( \dfrac{n^{2}-n}{n^{2}}\right) \left( n^{2}+n\right) \\
&=&\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \dfrac{n^{4}-n^{2}}{n^{2}}\right)
\end{eqnarray*}

This now has the form $\dfrac{\infty }{\infty }$. \ So we divide numerator
and denominator by $n^{2}:$

\begin{center}
$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \dfrac{1}{n\rule{0in}{0.12in}}-%
\dfrac{1}{n^{2}}\right) \left( n^{2}+n\right) =\lim\limits_{n\rightarrow
\infty }\left( n^{2}-1\right) =\infty $
\end{center}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename
'graphics/maroon7.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}

\begin{exercise}
Compute $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }ne^{-n}$.\dotfill 
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{%
}{}]{Margin Hint}{$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }ne^{-n}==0$}...%
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETSolution}{0.1609in}{0.1609in}{0in}}{%
}{}{}]{Margin Hint}{$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }ne^{-n}$ has the
indeterminant form $0\cdot \infty $. \ So we rewrite it as $%
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{n}{e^{n}}$ to which we apply
l'Hospital's Rule:
\par
\begin{center}
$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }ne^{-n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }%
\dfrac{n}{e^{n}}\overset{\text{l'H}}{=}\lim\limits_{n\rightarrow \infty }%
\dfrac{1}{e^{n}}=0$%
\end{center}
}
\end{exercise}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename
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\vspace{1pt}

\subsubsection{Indeterminate Form $\infty -\infty $:}

\emph{Procedure:} \ Manipulate the limit into a product or quotient by
factoring it, or putting it over a common denominator, or multiplying and
dividing by the conjugate.

\vspace{1pt}

\begin{example}
Compute $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \sqrt{n^{2}+5n}-n\right) $.
\end{example}

\emph{Solution:} \ This has the indeterminant form $\infty -\infty $. \ So
we convert to a quotient by multiplying by the conjugate:

\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \sqrt{n^{2}+5n}-n\right)
&=&\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \sqrt{n^{2}+5n}-n\right) \cdot 
\dfrac{\left( \sqrt{n^{2}+5n}+n\right) }{\left( \sqrt{n^{2}+5n}+n\right) } \\
&=&\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{n^{2}+5n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+5n}+n%
}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{5n}{\sqrt{n^{2}+5n}+n}
\end{eqnarray*}

We now divide numerator and denominator by $n$ and remember to divide by $%
n^{2}$ inside the square root:

\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \sqrt{n^{2}+5n}-n\right)
&=&\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{5n}{\sqrt{n^{2}+5n}+n}\cdot 
\dfrac{\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n}} \\
&=&\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{5}{\sqrt{1+\dfrac{5}{n}}+1}=%
\dfrac{5}{\sqrt{1}+1}=\dfrac{5}{2}
\end{eqnarray*}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.5008";cropright "1";cropbottom "0.4992";filename
'graphics/maroon7.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}

\begin{exercise}
Compute $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( ne^{1/n}-n\right) $%
.\dotfill 
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{%
}{}]{Margin Hint}{$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left(
ne^{1/n}-n\right) =1$}...%
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETSolution}{0.1609in}{0.1609in}{0in}}{%
}{}{}]{Margin Hint}{$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left(
ne^{1/n}-n\right) $ has the indeterminate form $\infty -\infty $. \ So we
convert to a product by factoring:
\par
\begin{center}
$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( ne^{1/n}-n\right)
=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }n\left( e^{1/n}-1\right) $%
\end{center}
\par
This has the indeterminate form $\infty \cdot 0$. \ So we convert to a
quotient:
\par
\begin{center}
$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( ne^{1/n}-n\right)
=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{e^{1/n}-1}{\dfrac{1}{n}}$%
\end{center}
\par
This has the indeterminate form $\dfrac{0}{0}$. \ So we use l'Hopital's Rule:
\par
\begin{center}
$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( ne^{1/n}-n\right) \overset{\text{%
l'H}}{=}\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{-\dfrac{1}{n^{2}}e^{1/n}}{-%
\dfrac{1}{n^{2}}}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }e^{1/n}=e^{0}=1$%
\end{center}
}\medskip
\end{exercise}

\begin{exercise}
Compute $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \dfrac{n^{3}}{n^{2}-1}-%
\dfrac{n^{3}}{n^{2}+1}\right) $\dotfill 
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{%
}{}]{Margin Hint}{$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \dfrac{n^{3}}{%
n^{2}-1}-\dfrac{n^{3}}{n^{2}+1}\right) =0$}...%
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETSolution}{0.1609in}{0.1609in}{0in}}{%
}{}{}]{Margin Hint}{$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \dfrac{n^{3}}{%
n^{2}-1}-\dfrac{n^{3}}{n^{2}+1}\right) $ has the indeterminate form $\infty
-\infty $. \ So we put it over a common denominator:
\par
\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \dfrac{n^{3}}{n^{2}-1}-\dfrac{n^{3}%
}{n^{2}+1}\right) =\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{n^{3}\left(
n^{2}+1\right) -n^{3}\left( n^{2}-1\right) }{\left( n^{2}-1\right) \left(
n^{2}+1\right) } \\
=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{2n^{3}}{n^{4}-1}
\end{eqnarray*}%
\par
This has the indeterminate form $\dfrac{0}{0}$. \ So we divide numerator and
denominator by $n^{4}$:
\par
\begin{center}
$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \dfrac{n^{3}}{n^{2}-1}-\dfrac{n^{3}%
}{n^{2}+1}\right) =\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\dfrac{2}{n}}{1-%
\dfrac{1}{n^{4}}}=\dfrac{0}{1}=0$%
\end{center}
}
\end{exercise}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename
'graphics/maroon7.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}

\subsubsection{Indeterminate Forms $0^{0}$ or $1^{\infty }$\ or $\infty ^{0}$%
:}

\emph{Procedure:} \ Use the identity $b^{p}=e^{\ln \left( b^{p}\right)
}=e^{p\ln b}$, or equivalently, compute the limit of the log and
exponentiate the result.

\vspace{1pt}

\begin{example}
Compute $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{3}{n}\right) ^{n}$%
.
\end{example}

\emph{Solution:} \ This has the indeterminate form $1^{\infty }$. \ So we
use the identity $b^{p}=e^{p\ln b}$:

\begin{center}
$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{3}{n}\right)
^{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }e^{n\ln \left( 1+\dfrac{3}{n}\right)
}=e^{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\;n\ln \left( 1+\dfrac{3}{n}\right) }$
\end{center}

where we have used the fact that $e^{x}$\vspace{1pt} is a continuous
function. \ We first compute the exponent $\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}n\ln \left( 1+\dfrac{3}{n}\right) $ which has the indeterminate form $%
\infty \cdot 0$. \ So we rewrite it as a quotient and apply l'Hospital's
Rule:

\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }n\ln \left( 1+\dfrac{3}{n}\right)
&=&\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\ln \left( 1+\dfrac{3}{n}\right) 
}{\dfrac{1}{n}} \\
&&\overset{\text{l'H}}{=}\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\dfrac{1}{%
1+\dfrac{3}{n}}\left( \dfrac{-3}{n^{2}}\right) }{\dfrac{-1}{n^{2}}} \\
&=&\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{3}{1+\dfrac{3}{n}}=\dfrac{3}{1}=3
\end{eqnarray*}

So the original limit becomes:

\begin{center}
$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{3}{n}\right)
^{n}=e^{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\;n\ln \left( 1+\dfrac{3}{n}%
\right) }=e^{3}$
\end{center}

\begin{remark}
Notice that this computation is equivalent to computing the limit of the log
of $\left( 1+\dfrac{3}{n}\right) ^{n}$ to get $3$ and exponentiating the
result.
\end{remark}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename
'graphics/maroon7.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}

\begin{exercise}
Compute $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }n^{1/n}$\dotfill 
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{%
}{}]{Margin Hint}{$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }n^{1/n}=1$}...%
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETSolution}{0.1609in}{0.1609in}{0in}}{%
}{}{}]{Margin Hint}{$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }n^{1/n}$ has the
indeterminate form $\infty ^{0}$. \ So we e first compute the limit of the
log of the function:
\par
\begin{center}
$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\ln \left( n^{1/n}\right)
=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{1}{n}\ln
n=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\ln n}{n}$%
\end{center}
\par
This has the indetreminate form $\dfrac{\infty }{\infty }$. \ So we apply
l'Hospital's Rule:
\par
\begin{center}
$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\ln \left( n^{1/n}\right)
=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\ln n}{n}\overset{\text{l'H}}{=}%
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\dfrac{1}{n}}{1}=\dfrac{0}{1}=0$%
\end{center}
\par
Finally, we exponentiate this result:
\par
\begin{center}
$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }n^{1/n}=e^{0}=1$%
\end{center}
}
\end{exercise}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename
'graphics/maroon7.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}

\subsubsection{Indeterminate Forms $\dfrac{1}{0}$ or $\dfrac{\infty }{0}$:}

\emph{Procedure:} \ Manipulate to $\pm \infty $.

\vspace{1pt}

\begin{example}
Compute $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{1-\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{%
n^{2}}-\dfrac{1}{n\rule{0in}{0.12in}}}$.
\end{example}

\emph{Solution:} \ This has the indeterminate form $\dfrac{1}{0}$. \ The
largest term in the denominator is $\dfrac{1}{n}$. \ So we multiply
numerator and denominator by $n$:

\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{1-\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n^{2}}-%
\dfrac{1}{n\rule{0in}{0.12in}}} &=&\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{%
1-\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{1}{n\rule{0in}{0.12in}}}\cdot \dfrac{%
n\rule[-0.05in]{0in}{0.15in}}{n\rule[-0.05in]{0in}{0.2in}} \\
&=&\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{n-1}{\dfrac{1}{n}-1}=\dfrac{%
\infty }{-1}=-\infty
\end{eqnarray*}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename
'graphics/maroon7.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}

\begin{exercise}
Compute $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\ln \left( \dfrac{1}{n}%
\right) }{\dfrac{-2}{n}}$.\dotfill 
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{%
}{}]{Margin Hint}{$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\ln \left( 
\dfrac{1}{n}\right) }{\dfrac{-2}{n}}=+\infty $}...%
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETSolution}{0.1609in}{0.1609in}{0in}}{%
}{}{}]{Margin Hint}{$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\ln \left( 
\dfrac{1}{n}\right) }{\dfrac{-2}{n}}$ has the indeterminate form $\dfrac{%
-\infty }{0}$. \ So we multiply numerator and denominator by $n$:
\par
\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\ln \left( \dfrac{1}{n}\right) }{%
\dfrac{-2}{n}}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\ln \left( \dfrac{1}{%
n}\right) }{\dfrac{-2}{n}}\cdot \dfrac{n\rule[-0.05in]{0in}{0.15in}}{n%
\rule[-0.05in]{0in}{0.2in}} \\
=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }-\dfrac{1}{2}n\ln \left( \dfrac{1}{n}%
\right) \\
=-\dfrac{1}{2}\left( \infty \right) \left( -\infty \right) =+\infty
\end{eqnarray*}%
}
\end{exercise}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.5008";cropright "1";cropbottom "0.4992";filename
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\vspace{1pt}

\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/lec_2_7_00.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/graphics/maroon0.wmf %%%%%%%%%%%%%%%%

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%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/graphics/maroon0.wmf %%%%%%%%%%%%%%%%%

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/graphics/lim1.wmf %%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/graphics/maroon3.wmf %%%%%%%%%%%%%%%%

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