%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                                                     %
%              Scientific Word   Wrap/Unwrap  Version 2.5             %
%              Scientific Word   Wrap/Unwrap  Version 3.0             %
%                                                                     %
% If you are separating the files in this message by hand, you will   %
% need to identify the file type and place it in the appropriate      %
% directory.  The possible types are: Document, DocAssoc, Other,      %
% Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files      %
% tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file    %
% directory.  Macro files go into your TeX macros directory. Style    %
% files are used by Scientific Word and do not need to be extracted.  %
% Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a       %
% graphics directory.                                                 %
%                                                                     %
% Graphic files need to be converted from the text format (this is    %
% done for e-mail compatability) to the original 8-bit binary format. %
%                                                                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                                                     %
% Files included:                                                     %
%                                                                     %
% "/document/lec_2_22_00.tex", Document, 35990, 2/23/2000, 14:51:24, ""%
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%                                                                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/lec_2_22_00.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\newtheorem{theorem}{Theorem}
%\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
%\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
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%\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}


\documentclass{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}

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%F=36,\PARA{038<p type="texpara" tag="Body Text" >\hfill \thepage}
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\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
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\input{tcilatex}

\begin{document}


\section{Ma 116 Lecture 2/22/00}

\vspace{1pt}

\section{Introduction to Power Series\qquad \qquad}

\vspace{1pt}Please note that there is material on power series at \hyperref{%
Visual Calculus}{}{}{http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/6/}. Some
of this material was used as part of the presentation of the topics that
follow.

\subsection{ What is a Power Series?}

Recall that the geometric series $\dsum\limits_{n=0}^{\infty }ar^{n}$
converges to $\dfrac{a}{1-r}$ provided $\left| r\right| <1$. \ In this
section we will take the ratio $r$ to be a variable $x$. \ In particular,
the geometric series 
\begin{equation*}
\dsum\limits_{n=0}^{\infty }ax^{n}=a+ax+ax^{2}+ax^{3}+\cdots
\end{equation*}
is an example of a power series. \ It converges on the interval $-1<x<1$,
which we say is centered at $0$ and has radius $1$. \ All this will be
generalized in this section.

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1pt;cropleft "0";croptop "0.5008";cropright "1";cropbottom "0.4992";filename
'graphics/maroon0.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}

\begin{definition}
A \emph{power series} is a series of the form 
\begin{equation*}
S\left( x\right) =\dsum\limits_{n=0}^{\infty }c_{n}\left( x-a\right)
^{n}=c_{0}+c_{1}\left( x-a\right) +c_{2}\left( x-a\right) ^{2}+c_{3}\left(
x-a\right) ^{3}+\cdots
\end{equation*}
where $a,c_{0},c_{1},c_{2},\ldots $ are constants. \ The numbers $c_{n}$ are
called the \emph{coefficients} of the series and the number $a$ is called
the \emph{center} of the series. \ We also say that the series is \emph{%
expanded} about $x=a$ and that the $n^{\text{\emph{th}}}$\emph{-order term}
is $c_{n}\left( x-a\right) ^{n}$.
\end{definition}

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"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
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1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename
'graphics/maroon0.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}

\begin{remark}
In the $0^{\text{th}}$-order term $c_{0}\left( x-a\right) ^{0}=c_{0}$ we
follow the convention that $\left( x-a\right) ^{0}=1$, even when $x=a$, in
spite of the fact that $0^{0}$ is normally undefined. \ All the remaining
terms go to $0$ when $x=a$, since $\left( a-a\right) ^{n}=0^{n}=0$ for $%
n\neq 0$. \ Therefore $S\left( a\right) =c_{0}$.
\end{remark}

\vspace{1pt}

\begin{remark}
Very often we consider power series centered at $x=0$ which have the simpler
form 
\begin{equation*}
\dsum\limits_{n=0}^{\infty
}c_{n}x^{n}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots
\end{equation*}
\end{remark}

\vspace{1pt}

\begin{example}
For the series 
\begin{equation*}
\dsum\limits_{n=0}^{\infty }\dfrac{3\left( n+1\right) ^{2}}{2^{n}}\left(
x-5\right) ^{n}=3+6\left( x-5\right) +\dfrac{27}{4}\left( x-5\right)
^{2}+6\left( x-5\right) ^{3}+\cdots
\end{equation*}
identify the center and the coefficient of the $4^{\text{th}}$-order term.
\end{example}

\emph{Solution:} \ The center is at $x=5$. \ The coefficient of the $n^{%
\text{th}}$-order term is $c_{n}=\dfrac{3\left( n+1\right) ^{2}}{2^{n}}$. \
So the coefficient of $4^{\text{th}}$-order term is 
\begin{equation*}
c_{4}=\dfrac{3\left( 4+1\right) ^{2}}{2^{4}}=\dfrac{75}{16}
\end{equation*}

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1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename
'graphics/maroon0.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}

\begin{exercise}
For the series 
\begin{equation*}
\dsum\limits_{n=0}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}\dfrac{2}{n+2}\left(
x+4\right) ^{n}
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Identify the center. 
\begin{equation*}
\CustomNote[{\FRAME{itbpF}{0.3191in}{0.3191in}{0.1003in}{}{}{bulletblue.bmp}{%
\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
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0.1003in;original-width 21.0625pt;original-height 21.0625pt;cropleft
"0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'graphics/bulletblue.bmp';file-properties "XNPEU";}}}]{Margin Hint}{%
\QTR{purple}{Incorrect!} \ $2$ occurs in the coefficient. \ Identify $a$ in
the factor $\left( x-a\right) ^{n}$.}-2\qquad 
\CustomNote[{\FRAME{itbpF}{0.3191in}{0.3191in}{0.1003in}{}{}{bulletblue.bmp}{%
\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 0.3191in;height 0.3191in;depth
0.1003in;original-width 21.0625pt;original-height 21.0625pt;cropleft
"0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'graphics/bulletblue.bmp';file-properties "XNPEU";}}}]{Margin Hint}{%
\QTR{purple}{Incorrect!} \ $2$ occurs in the coefficient. \ Identify $a$ in
the factor $\left( x-a\right) ^{n}$.}2\qquad 
\CustomNote[{\FRAME{itbpF}{0.3191in}{0.3191in}{0.1003in}{}{}{bulletblue.bmp}{%
\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 0.3191in;height 0.3191in;depth
0.1003in;original-width 21.0625pt;original-height 21.0625pt;cropleft
"0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'graphics/bulletblue.bmp';file-properties "XNPEU";}}}]{Margin Hint}{%
\QTR{purple}{Correct!} \ You found $a=-4$ in 
\begin{equation*}
\left( x-a\right) ^{n}=\left( x+4\right) ^{n}
\end{equation*}%
}-4\qquad 
\CustomNote[{\FRAME{itbpF}{0.3191in}{0.3191in}{0.1003in}{}{}{bulletblue.bmp}{%
\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
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0.1003in;original-width 21.0625pt;original-height 21.0625pt;cropleft
"0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'graphics/bulletblue.bmp';file-properties "XNPEU";}}}]{Margin Hint}{%
\QTR{purple}{Small Error!} \ Be careful with the sign of $a$ when you
identify $a$ in the factor$\left( x-a\right) ^{n}$.}4
\end{equation*}

\item Identify the coefficient of the $3^{\text{rd}}$-order term. 
\begin{equation*}
\CustomNote[{\FRAME{itbpF}{0.3191in}{0.3191in}{0.1003in}{}{}{bulletblue.bmp}{%
\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
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0.1003in;original-width 21.0625pt;original-height 21.0625pt;cropleft
"0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'graphics/bulletblue.bmp';file-properties "XNPEU";}}}]{Margin Hint}{%
\QTR{purple}{Sorry.} \ You forgot the $\left( -1\right) ^{n}$}\dfrac{2}{5}%
\qquad 
\CustomNote[{\FRAME{itbpF}{0.3191in}{0.3191in}{0.1003in}{}{}{bulletblue.bmp}{%
\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 0.3191in;height 0.3191in;depth
0.1003in;original-width 21.0625pt;original-height 21.0625pt;cropleft
"0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'graphics/bulletblue.bmp';file-properties "XNPEU";}}}]{Margin Hint}{%
\QTR{purple}{Great!} \ $c_{3}=\left( -1\right) ^{3}\dfrac{2}{3+2}=-\dfrac{2}{%
5}$}-\dfrac{2}{5}\qquad 
\CustomNote[{\FRAME{itbpF}{0.3191in}{0.3191in}{0.1003in}{}{}{bulletblue.bmp}{%
\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 0.3191in;height 0.3191in;depth
0.1003in;original-width 21.0625pt;original-height 21.0625pt;cropleft
"0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'graphics/bulletblue.bmp';file-properties "XNPEU";}}}]{Margin Hint}{%
\QTR{purple}{Sorry.} \ $c_{2}=\dfrac{1}{2}$ which is the coefficient of the $%
2^{\text{nd}} $-order term.}\dfrac{1}{2}\qquad 
\CustomNote[{\FRAME{itbpF}{0.3191in}{0.3191in}{0.1003in}{}{}{bulletblue.bmp}{%
\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 0.3191in;height 0.3191in;depth
0.1003in;original-width 21.0625pt;original-height 21.0625pt;cropleft
"0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'graphics/bulletblue.bmp';file-properties "XNPEU";}}}]{Margin Hint}{%
\QTR{purple}{Sorry.} \ $c_{2}=\dfrac{1}{2}$ which is the coefficient of the $%
2^{\text{nd}} $-order term. You also need to be careful about the $\left(
-1\right) ^{n}$.}-\dfrac{1}{2}
\end{equation*}

\item Write out the terms of the series up to $3^{\text{rd}}$-order\dotfill 
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{%
}{}]{Margin Hint}{$\dsum\limits_{n=0}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}\dfrac{2%
}{n+2}\left( x+4\right) ^{n}$%
\par
$\quad =1-\dfrac{2}{3}\left( x+4\right) +\dfrac{1}{2}\left( x+4\right) ^{2}-%
\dfrac{2}{5}\left( x+4\right) ^{3}+\cdots $}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
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1pt;cropleft "0";croptop "0.5008";cropright "1";cropbottom "0.4992";filename
'graphics/maroon0.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\subsection{Radius of Convergence}

Recall that the geometric series 
\begin{equation*}
\dsum\limits_{n=0}^{\infty }ax^{n}=a+ax+ax^{2}+ax^{3}+\cdots
\end{equation*}
converges on the interval $-1<x<1$, which we say is centered at $0$ and has
radius $1$. \ For a general power series, we have:

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.5008";cropright "1";cropbottom "0.4992";filename
'graphics/maroon2.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}

\begin{theorem}
(\QTR{blue}{Power Series Convergence Theorem}) \ The convergence of a \emph{%
power series} 
\begin{equation*}
S\left( x\right) =\dsum\limits_{n=0}^{\infty }c_{n}\left( x-a\right)
^{n}=c_{0}+c_{1}\left( x-a\right) +c_{2}\left( x-a\right) ^{2}+c_{3}\left(
x-a\right) ^{3}+\cdots
\end{equation*}
is characterized by one of the following three cases:

\begin{enumerate}
\item There is a positive number $R$, called the \emph{radius of convergence}%
, such that the series $S\left( x\right) $ converges absolutely on the
interval $\left( a-R,a+R\right) $. \ The series may also converge at one,
both or neither of the endpoints $a-R$ and $a+R$.

\item The series $S\left( x\right) $ converges only for $x=a$. \ In this
case, we say that the \emph{radius of convergence} is $R=0$.

\item The series $S\left( x\right) $ converges for all real numbers $x$. \
In this case, we say that the \emph{radius of convergence} is $R=\infty $.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
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1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename
'graphics/maroon2.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}Note that a Power Series always converges for $x=a,$ since at $%
x=a$ $\ \ \sum\limits_{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}=c_{0}$. \ It may or may not
converge for other values of $x.$

\begin{remark}
Notice that the center of the interval $\left( a-R,a+R\right) $\ is at $a$,
which is the center of the series. \ Further, the interval $\left(
a-R,a+R\right) $ can also be specified by either of the triple inequalities 
\begin{equation*}
a-R<x<a+R\qquad \text{or}\qquad -R<x-a<R
\end{equation*}
or by the absolute value inequality 
\begin{equation*}
\left| x-a\right| <R\text{.}
\end{equation*}
\end{remark}

\vspace{1pt}

\begin{remark}
\QTR{green}{The radius of convergence is usually found by applying the ratio
test to the series.} \ 
\end{remark}

\vspace{1pt}

\begin{example}
Find the center and radius of convergence of the series $\dsum%
\limits_{n=0}^{\infty }\dfrac{\left( n+1\right) ^{2}}{2^{n}}\left(
x-5\right) ^{n}$.
\end{example}

\emph{Solution:} \ The center is $a=5$. \ To find the radius we apply the
ratio test

\begin{equation*}
a_{n}=\dfrac{\left( n+1\right) ^{2}}{2^{n}}\left( x-5\right) ^{n}\quad \text{%
and\quad }a_{n+1}=\dfrac{\left( n+2\right) ^{2}}{2^{n+1}}\left( x-5\right)
^{n+1}
\end{equation*}

\begin{eqnarray*}
L &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\left| a_{n+1}\right| }{\left|
a_{n}\right| }=\lim_{n\rightarrow \infty }\left| \dfrac{\left( n+2\right)
^{2}}{2^{n+1}}\left( x-5\right) ^{n+1}\dfrac{2^{n}}{\left( n+1\right) ^{2}}%
\dfrac{1}{\left( x-5\right) ^{n}}\right| \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \dfrac{n+2}{n+1}\right) ^{2}\dfrac{%
\left| x-5\right| }{2}=\dfrac{\left| x-5\right| }{2}\left(
\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{n+2}{n+1}\right) ^{2} \\
&=&\dfrac{\left| x-5\right| }{2}
\end{eqnarray*}

The ratio test says the series converges absolutely if $L<1$. \ In other
words, $\dfrac{\left| x-5\right| }{2}<1$ or $\left| x-5\right| <2$, from
which we identify the radius of convergence as $R=2$. \ Thus, the series
converges absolutely on the interval $\left( 3,7\right) $.

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
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1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename
'graphics/maroon2.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}

Now you do it:

\begin{exercise}
Find the center and radius of convergence of the series $\dsum%
\limits_{n=0}^{\infty }\left( -3\right) ^{n}\left( x-2\right) ^{n}$.\dotfill 
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{%
}{}]{Margin Hint}{%
The center is $a=2$ and the radius of convergence is $R=\dfrac{1}{3}$.}...%
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETSolution}{0.1609in}{0.1609in}{0in}}{%
}{}{}]{Margin Hint}{%
The center is $a=2$. \ To find the radius we apply the ratio test
\par
\begin{equation*}
a_{n}=\left( -3\right) ^{n}\left( x-2\right) ^{n}\quad \text{and\quad }%
a_{n+1}=\left( -3\right) ^{n+1}\left( x-2\right) ^{n+1}
\end{equation*}%
\par
\begin{eqnarray*}
L=\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\left| a_{n+1}\right| }{\left|
a_{n}\right| }=\lim_{n\rightarrow \infty }\left| \dfrac{\left( -3\right)
^{n+1}\left( x-2\right) ^{n+1}}{\left( -3\right) ^{n}\left( x-2\right) ^{n}}%
\right| \\
=\lim_{n\rightarrow \infty }\left| \left( -3\right) \left( x-2\right)
\right| =3\left| x-2\right|
\end{eqnarray*}%
\par
So the series converges absolutely when $3\left| x-2\right| <1$ or $\left|
x-2\right| <\dfrac{1}{3}$ and the radius of convergence is $R=\dfrac{1}{3}$.
\ In conclusion, the series converges absolutely on the interval $\left( 
\dfrac{5}{3},\dfrac{7}{3}\right) $.}
\end{exercise}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.5008";cropright "1";cropbottom "0.4992";filename
'graphics/maroon2.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}

The example and exercise above illustrate the first case in the Power Series
Convergence Theorem. \ Here are some examples of the other two cases and of
the use of the ratio test:

\begin{example}
Find the center and radius of convergence of the series $\dsum%
\limits_{n=0}^{\infty }\dfrac{\left( -2\right) ^{n}}{n!}\left( x+1\right)
^{n}$.
\end{example}

\emph{Solution:} \ The center is $a=-1$. \ To find the radius we apply the
ratio test:

\begin{equation*}
\left| a_{n}\right| =\dfrac{2^{n}}{n!}\left| x+1\right| ^{n}\quad \text{%
and\quad }\left| a_{n+1}\right| =\dfrac{2^{n+1}}{\left( n+1\right) !}\left|
x+1\right| ^{n+1}
\end{equation*}

\begin{eqnarray*}
L &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\left| a_{n+1}\right| }{\left|
a_{n}\right| }=\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{2^{n+1}}{\left( n+1\right) !%
}\left| x+1\right| ^{n+1}\dfrac{n!}{2^{n}}\dfrac{1}{\left| x+1\right| ^{n}}
\\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{n!}{\left( n+1\right) !}2\left|
x+1\right| =\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{1}{\left( n+1\right) }2\left|
x+1\right| \\
&=&0\quad \text{for all }x\text{.}
\end{eqnarray*}

The ratio test says the series converges absolutely if $L<1$. \ Since $L=0$,
the series converges for all $x$ and the radius of convergence is $R=\infty $%
.

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
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'graphics/maroon2.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\begin{example}
Find the center and radius of convergence of the series $\dsum%
\limits_{n=0}^{\infty }\dfrac{\left( -1\right) ^{n}n!}{2^{n}}\left(
x+1\right) ^{n}$.
\end{example}

\emph{Solution:} \ The center is again $a=-1$. \ To find the radius we apply
the ratio test:

\begin{equation*}
\left| a_{n}\right| =\dfrac{n!}{2^{n}}\left| x+1\right| ^{n}\quad \text{%
and\quad }\left| a_{n+1}\right| =\dfrac{\left( n+1\right) !}{2^{n+1}}\left|
x+1\right| ^{n+1}
\end{equation*}

\begin{eqnarray*}
L &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\left| a_{n+1}\right| }{\left|
a_{n}\right| }=\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\left( n+1\right) !}{2^{n+1}%
}\left| x+1\right| ^{n+1}\dfrac{2^{n}}{n!}\dfrac{1}{\left| x+1\right| ^{n}}
\\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\left( n+1\right) !}{n!}\dfrac{1}{2}%
\left| x+1\right| =\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\left( n+1\right) }{2}%
\left| x+1\right| \\
&=&\left\{ 
\begin{array}{ll}
\infty \quad & \text{for all }x\text{ except }x=-1 \\ 
0\quad & \text{for }x=-1\text{.}%
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}

The ratio test says the series diverges if $L>1$ and converges if $L<1$. \
So, the series diverges for all $x$ except $x=-1$ and converges for $x=-1$.
\ Thus, the radius of convergence is $R=0$.

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.5008";cropright "1";cropbottom "0.4992";filename
'graphics/maroon2.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\begin{center}
\end{center}

And some more exercises:

\begin{exercise}
Find the center and radius of convergence of the series $\dsum%
\limits_{n=0}^{\infty }\dfrac{\left( -1\right) ^{n}}{n!}\left( x-3\right)
^{n}$.\dotfill 
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{%
}{}]{Margin Hint}{}...%
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETSolution}{0.1609in}{0.1609in}{0in}}{%
}{}{}]{Margin Hint}{%
The center is $a=2$. \ To find the radius we apply the ratio test
\par
\begin{equation*}
a_{n}=\left( -3\right) ^{n}\left( x-2\right) ^{n}\quad \text{and\quad }%
a_{n+1}=\left( -3\right) ^{n+1}\left( x-2\right) ^{n+1}
\end{equation*}%
\par
\begin{eqnarray*}
L=\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\left| a_{n+1}\right| }{\left|
a_{n}\right| }=\lim_{n\rightarrow \infty }\left| \dfrac{\left( -3\right)
^{n+1}\left( x-2\right) ^{n+1}}{\left( -3\right) ^{n}\left( x-2\right) ^{n}}%
\right| \\
=\lim_{n\rightarrow \infty }\left| \left( -3\right) \left( x-2\right)
\right| =3\left| x-2\right|
\end{eqnarray*}%
\par
So the series converges absolutely when $3\left| x-2\right| <1$ or $\left|
x-2\right| <\dfrac{1}{3}$ and the radius of convergence is $R=\dfrac{1}{3}$.
\ In conclusion, the series converges absolutely on the interval $\left( 
\dfrac{5}{3},\dfrac{7}{3}\right) $.}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Find the center and radius of convergence of the series $\dsum%
\limits_{n=0}^{\infty }\dfrac{n!}{2^{n}}\left( x-1\right) ^{n}$.\dotfill 
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{%
}{}]{Margin Hint}{}...%
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETSolution}{0.1609in}{0.1609in}{0in}}{%
}{}{}]{Margin Hint}{%
The center is $a=2$. \ To find the radius we apply the ratio test
\par
\begin{equation*}
a_{n}=\left( -3\right) ^{n}\left( x-2\right) ^{n}\quad \text{and\quad }%
a_{n+1}=\left( -3\right) ^{n+1}\left( x-2\right) ^{n+1}
\end{equation*}%
\par
\begin{eqnarray*}
L=\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{\left| a_{n+1}\right| }{\left|
a_{n}\right| }=\lim_{n\rightarrow \infty }\left| \dfrac{\left( -3\right)
^{n+1}\left( x-2\right) ^{n+1}}{\left( -3\right) ^{n}\left( x-2\right) ^{n}}%
\right| \\
=\lim_{n\rightarrow \infty }\left| \left( -3\right) \left( x-2\right)
\right| =3\left| x-2\right|
\end{eqnarray*}%
\par
So the series converges absolutely when $3\left| x-2\right| <1$ or $\left|
x-2\right| <\dfrac{1}{3}$ and the radius of convergence is $R=\dfrac{1}{3}$.
\ In conclusion, the series converges absolutely on the interval $\left( 
\dfrac{5}{3},\dfrac{7}{3}\right) $.}
\end{exercise}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
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1pt;cropleft "0";croptop "0.5008";cropright "1";cropbottom "0.4992";filename
'graphics/maroon2.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\subsection{ Interval of Convergence}

\vspace{1pt}

\begin{definition}
The Power Series Convergence Theorem implies that a power series 
\begin{equation*}
S\left( x\right) =\dsum\limits_{n=0}^{\infty }c_{n}\left( x-a\right)
^{n}=c_{0}+c_{1}\left( x-a\right) +c_{2}\left( x-a\right) ^{2}+c_{3}\left(
x-a\right) ^{3}+\cdots
\end{equation*}
converges on an interval called its \emph{interval of convergence}. \ This
interval may consist of a single point $\left[ a\right] $, the set of all
real numbers $\left( -\infty ,\infty \right) $, or a finite interval which
may be open: $\left( a-R,a+R\right) $, closed: $\left[ a-R,a+R\right] $, or
half open: $\left[ a-R,a+R\right) $ or $\left( a-R,a+R\right] $.
\end{definition}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename
'graphics/maroon3.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}

We have seen that the center $a$ may be read off the series, and the radius $%
R$ may be determined using the ratio test (or the root test). \ It remains
to determine the convergence at the endpoints of the interval of convergence.

\vspace{1pt}

\begin{remark}
It is much more important to be able to determine the radius of convergence
than it is to be able to determine whether the series converges at the
endpoints of the interval of convergence.
\end{remark}

\vspace{1pt}

\begin{remark}
You \QTR{red}{cannot use the ratio test or the root test} to determine the
convergence at the endpoints, because these tests fail when $L=1$ which is
precisely at the endpoints of the interval of convergence. \ You \QTR{green}{%
must use some other test}.
\end{remark}

\vspace{1pt}

The following three examples illustrate the three cases of an open, closed
or half open interval of convergence.

\begin{example}
Find the interval of convergence of the series $\dsum\limits_{n=0}^{\infty }%
\dfrac{2}{3^{n}}\left( x-1\right) ^{n}$\dotfill 
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{%
}{}]{Margin Hint}{%
The interval of convergence is the open interval $\left( -2,4\right) $.}...%
\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETSolution}{0.1609in}{0.1609in}{0in}}{}{}{%
epowserintv1.tex}
\end{example}

\begin{example}
Find the interval of convergence of the series $\dsum\limits_{n=0}^{\infty }%
\dfrac{2}{3^{n}n^{2}}\left( x-1\right) ^{n}$\dotfill 
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{%
}{}]{Margin Hint}{%
The interval of convergence is the closed interval $\left[ -2,4\right] $.}...%
\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETSolution}{0.1609in}{0.1609in}{0in}}{}{}{%
epowserintv2.tex}
\end{example}

You try this one first:

\begin{example}
Find the interval of convergence of the series $\dsum\limits_{n=0}^{\infty }%
\dfrac{2}{3^{n}\sqrt{n}}\left( x-1\right) ^{n}$\dotfill 
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{%
}{}]{Margin Hint}{%
The interval of convergence is the half-open interval $\left[ -2,4\right) $.}%
...\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETSolution}{0.1609in}{0.1609in}{0in}}{}{}{%
epowserintv3.tex}
\end{example}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.3679";cropright "1";cropbottom "0.6321";filename
'graphics/maroon3.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\begin{example}
\vspace{1pt}For what values of $x$ is the series
\end{example}

\begin{equation*}
\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{n(2x-1)^{n}}{4^{n}}=\dfrac{\left(
2x-1\right) }{4}+\dfrac{2\left( 2x-1\right) ^{2}}{16}+\dfrac{3\left(
2x-1\right) ^{3}}{64}+\cdots
\end{equation*}
convergent?

We shall use the Ratio Test again.

$\vspace{1pt}$

\begin{equation*}
L=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left| \dfrac{(n+1)(2x-1)^{n+1}}{4^{n+1}}%
\cdot \dfrac{4^{n}}{n(2x-1)^{n}}\right| =\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}\left| \dfrac{2x-1}{4}\right|
\end{equation*}%
$.$ \ 

\vspace{1pt}

For the series to converge we must have $L<1$, that is $\left| \dfrac{2x-1}{4%
}\right| <1$ or equivalently $\left| \frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\right| <1.$
Thus

\begin{equation*}
-1<\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4}<1
\end{equation*}

or

\begin{equation*}
-\dfrac{3}{4}<\dfrac{x}{2}<\dfrac{5}{4}
\end{equation*}

or finally

\vspace{1pt}

\begin{equation*}
-\dfrac{3}{2}<x<\dfrac{5}{2}
\end{equation*}

\vspace{1pt}Hence, the series converges if $\ -\dfrac{3}{2}<x<\dfrac{5}{2}$
and diverges for $x>\dfrac{5}{2}$ and $x<-\dfrac{3}{2}$. \ The cases when $%
x=-\dfrac{3}{2}$ and $x=\dfrac{5}{2}$ must be tested separately.

\vspace{1pt}

When $x=-\dfrac{3}{2},$ then $\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{n(2x-1)^{n}}{%
4^{n}}=$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{n(-4)^{n}}{4^{n}}=$ $%
\sum\limits_{n=1}^{\infty }n(-1)^{n},$ which diverges since the $n$ th term
of this series does not go to zero as $n\rightarrow \infty .$

\vspace{1pt}

When $x=\dfrac{5}{2},$ then $\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{n(2x-1)^{n}}{%
4^{n}}=$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{n(4)^{n}}{4^{n}}=$ $%
\sum\limits_{n=1}^{\infty }n,$ which again diverges. Why?%
\CustomNote{AnswerNote}{%
The $nth$ does not go to zero.}

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}Thus this series converges in $-\dfrac{3}{2}<x<\dfrac{5}{2}$ and
this is the \emph{Interval of Convergence. }For this example $R=2.$

\begin{exercise}
\vspace{1pt}Find the interval of convergence and the radius of convergence of
\end{exercise}

\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\ \frac{3^{n}}{n}\ (x-1)^{n}
\end{equation*}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.5008";cropright "1";cropbottom "0.4992";filename
'graphics/maroon7.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\subsection{Representation of a Functions as Power Series}

It is often useful to write a function $f(x)$ as an infinite series.

\subsection{Functions Defined by Power Series}

\vspace{1pt}

When a power series converges on an open interval $\left( a-R,a+R\right) $
(of finite or infinite length), \ It defines a function 
\begin{equation*}
f\left( x\right) =\dsum\limits_{n=0}^{\infty }c_{n}\left( x-a\right)
^{n}=c_{0}+c_{1}\left( x-a\right) +c_{2}\left( x-a\right) ^{2}+c_{3}\left(
x-a\right) ^{3}+\cdots
\end{equation*}
on its interval of convergence.

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename
'graphics/maroon4.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}

The only such function we know so far is the sum of the geometric series: 
\begin{equation*}
\dfrac{1}{1-x}=\dsum\limits_{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots
\quad \text{for }\left| x\right| <1
\end{equation*}

\subsection{ Operations on Power Series --- Substitution}

\vspace{1pt}

The easiest way to construct a new function is to make a substitution for
the variable. \ In general, you can replace the variable in a series by any
expression which leaves it a power series. \ You must make the same
substitution in the interval of convergence.

\vspace{1pt}

\begin{example}
Find the power series expansion for $\dfrac{1}{1+4x^{2}}$ centered about $%
x=0 $, and find its interval of convergence.
\end{example}

\emph{Solution:} \ Into the geometric series 
\begin{equation*}
\dfrac{1}{1-x}=\dsum\limits_{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots
\quad \text{for }\left| x\right| <1
\end{equation*}
substitute $x=-4t^{2}$. \ Remember to also make the substitution in the
interval of convergence: 
\begin{eqnarray*}
\dfrac{1}{1+4t^{2}} &=&\dsum\limits_{n=0}^{\infty }\left( -4t^{2}\right) ^{n}
\\
&=&1+\left( -4t^{2}\right) +\left( -4t^{2}\right) ^{2}+\left( -4t^{2}\right)
^{3}+\cdots \quad \text{for }\left| -4t^{2}\right| <1
\end{eqnarray*}

Next, replace $t$ by $x$: 
\begin{eqnarray*}
\dfrac{1}{1+4x^{2}} &=&\dsum\limits_{n=0}^{\infty }\left( -4x^{2}\right) ^{n}
\\
&=&1+\left( -4x^{2}\right) +\left( -4x^{2}\right) ^{2}+\left( -4x^{2}\right)
^{3}+\cdots \quad \text{for }\left| -4x^{2}\right| <1
\end{eqnarray*}

Finally, simplify the series and the interval of convergence: 
\begin{eqnarray*}
\dfrac{1}{1+4x^{2}} &=&\dsum\limits_{n=0}^{\infty }\left( -4\right)
^{n}x^{2n} \\
&=&1-4x^{2}+16x^{4}-64x^{6}+\cdots \quad \text{for }\left| x\right| <\dfrac{1%
}{2}
\end{eqnarray*}

This is the power series and it converges on the interval $\left( -\dfrac{1}{%
2},\dfrac{1}{2}\right) $.

\begin{remark}
One normally does the first two steps above at the same time by doing the
replacement $x\rightarrow -4x^{2}$ and never mentioning the variable $t$. \
However, if that is at all confusing, do it in two steps.
\end{remark}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename
'graphics/maroon6__1.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\begin{exercise}
Find the power series expansion for $\dfrac{1}{3-x}$ centered about $x=2$,
and find its interval of convergence.\dotfill 
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETProbSolvHint}{0.1505in}{0.1833in}{0in%
}}{}{}{}]{Margin Hint}{%
Write the function $\dfrac{1}{5-x}$ as 
\begin{equation*}
\dfrac{1}{5-x}=\dfrac{1}{3-\left( x-2\right) }=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{%
x-2}{3}}
\end{equation*}%
and then compare it to a geometric series.}...%
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{%
}{}]{Margin Hint}{$\dfrac{1}{5-x}=\dsum\limits_{n=0}^{\infty }\dfrac{1}{%
3^{n+1}}\left( x-2\right) ^{n}$%
\par
$\quad =\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}\left( x-2\right) +\dfrac{1}{27}\left(
x-2\right) ^{2}+\dfrac{1}{81}\left( x-2\right) ^{3}+\cdots $%
\par
for $\left| x-2\right| <3$.
\par
Therefore, the center is $2$, the radius of convergence is $R=3$ and the
interval of convergence is $\left( -1,5\right) $.}...%
\CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETSolution}{0.1609in}{0.1609in}{0in}}{%
}{}{}]{Margin Hint}{%
Write the function $\dfrac{1}{5-x}$ as 
\begin{equation*}
\dfrac{1}{5-x}=\dfrac{1}{3-\left( x-2\right) }=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{%
x-2}{3}}
\end{equation*}%
Notice that this is the sum of a geometric series whose ratio is $r=\dfrac{%
x-2}{3}$ and whose initial term is $a=\dfrac{1}{3}$. \ So into the geometric
series 
\begin{eqnarray*}
\dfrac{a}{1-r} &=&\dsum\limits_{n=0}^{\infty }ar^{n} \\
&=&a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots \quad \text{for }\left| r\right| <1
\end{eqnarray*}%
\par
make the substitutions $a=\dfrac{1}{3}$ and $r=\dfrac{x-2}{3}$: 
\begin{eqnarray*}
\dfrac{1}{5-x} &=&\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{x-2}{3}}=\dsum%
\limits_{n=0}^{\infty }\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{x-2}{3}\right) ^{n} \\
&=&\dsum\limits_{n=0}^{\infty }\dfrac{1}{3^{n+1}}\left( x-2\right) ^{n} \\
&=&\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}\left( x-2\right) +\dfrac{1}{27}\left(
x-2\right) ^{2}+\dfrac{1}{81}\left( x-2\right) ^{3}+\cdots
\end{eqnarray*}%
\par
for $\left| \dfrac{x-2}{3}\right| <1$ or $\left| x-2\right| <3$.
\par
Therefore, the center is $2$, the radius of convergence is $R=3$ and the
interval of convergence is $\left( -1,5\right) $.}
\end{exercise}

\FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.5008";cropright "1";cropbottom "0.4992";filename
'graphics/maroon4.wmf';file-properties "XNPEU";}}


\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/lec_2_22_00.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/graphics/maroon0.wmf %%%%%%%%%%%%%%%%

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