%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                                                     %
%              Scientific Word   Wrap/Unwrap  Version 2.5             %
%              Scientific Word   Wrap/Unwrap  Version 3.0             %
%                                                                     %
% If you are separating the files in this message by hand, you will   %
% need to identify the file type and place it in the appropriate      %
% directory.  The possible types are: Document, DocAssoc, Other,      %
% Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files      %
% tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file    %
% directory.  Macro files go into your TeX macros directory. Style    %
% files are used by Scientific Word and do not need to be extracted.  %
% Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a       %
% graphics directory.                                                 %
%                                                                     %
% Graphic files need to be converted from the text format (this is    %
% done for e-mail compatability) to the original 8-bit binary format. %
%                                                                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                                                     %
% Files included:                                                     %
%                                                                     %
% "/document/lec_1_31_00.tex", Document, 18241, 1/31/2000, 22:42:12, ""%
% "/document/graphics/curve.bmp", ImportPict, 23486, 6/24/1999, 16:32:04, ""%
% "/document/graphics/rdr.bmp", ImportPict, 13262, 6/24/1999, 16:20:50, ""%
% "/document/FP028809.wmf", PlotPict, 6816, 1/25/2000, 17:33:32, ""   %
% "/document/graphics/maroon2.wmf", ImportPict, 4748, 11/10/1998, 13:11:40, ""%
% "/document/FP02880A.wmf", PlotPict, 7866, 1/25/2000, 17:31:02, ""   %
%                                                                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/lec_1_31_00.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\newtheorem{theorem}{Theorem}
%\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
%\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
%\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
%\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
%\newtheorem{example}[theorem]{Example}
%\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
%\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
%\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
%\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}


\documentclass{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}

%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Created=Sunday, May 16, 1999 12:00:37}
%TCIDATA{LastRevised=Monday, January 31, 2000 17:42:11}
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%F=36,\PARA{038<p type="texpara" tag="Body Text" >\hfill \thepage}
%}


\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
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\input{tcilatex}

\begin{document}


\section{Ma 116 Lecture 1/31/00}

\subsection{Vector Functions}

SNB uses the convention of writing a vector $v_{1}\vec{i}+v_{2}\vec{j}+v_{3}%
\vec{k}$ in the form $\left( v_{1},v_{2},v_{3}\right) .$ We shall use these
notations interchangeably.

Consider now a particle $P$ moving in $x,y,z-$space along a curve $C.$

\begin{center}
\FRAME{dtbpFU}{3.5397in}{2.5944in}{0pt}{\Qcb{Particle Moving Along a Curve }%
}{}{curve.bmp}{\special{language "Scientific Word";type
"GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width
3.5397in;height 2.5944in;depth 0pt;original-width 5.2191in;original-height
3.8121in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'graphics/curve.bmp';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}
\end{center}

If $\ \vec{r}$ is the vector from the origin to the point $\left( x\left(
t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right) \right) $ where the particle is
at time $t,$ then

\vspace{1pt}

\begin{equation*}
\vec{r}\left( t\right) =x\left( t\right) \vec{i}+y\left( t\right) \vec{j}%
+z\left( t\right) \vec{k}
\end{equation*}

We say that $\vec{r}\left( t\right) $ is a vector function of $t.$

\vspace{1pt}

More generally, if $\vec{V}=\vec{V}\left( t\right) $ is a vector function of 
$t,$ then

\vspace{1pt}

\begin{center}
\begin{equation*}
\vec{V}\left( t\right) =V_{1}\left( t\right) \vec{i}+V_{2}\left( t\right) 
\vec{j}+V_{3}\left( t\right) \vec{k}
\end{equation*}
\end{center}

\vspace{1pt}

We say the $\vec{V}\left( t\right) $ is \emph{continuous} if $V_{1}\left(
t\right) ,V_{2}\left( t\right) ,$ and $V_{3}\left( t\right) $ are all
continuous. If $V_{1}\left( t\right) ,V_{2}\left( t\right) ,$ and $%
V_{3}\left( t\right) $ are all differentiable, then we define the derivative
of $\vec{V}$ by

\vspace{1pt}

\begin{equation*}
\dfrac{d\vec{V}}{dt}=\dfrac{dV_{1}}{dt}\vec{i}+\dfrac{dV_{2}}{dt}\vec{j}+%
\dfrac{dV_{3}}{dt}\vec{k}
\end{equation*}

If $V_{1}\left( t\right) ,V_{2}\left( t\right) ,$ and $V_{3}\left( t\right) $
are all integrable, then we define the integral of $\vec{V}$ \ by

\vspace{1pt}

\begin{equation*}
\int \vec{V}\left( t\right) dt=\int V_{1}\left( t\right) \vec{i}+\int
V_{2}\left( t\right) \vec{j}+\int V_{3}\left( t\right) \vec{k}
\end{equation*}

\vspace{1pt}

Remark: $\vec{r}\left( t\right) =x\left( t\right) \vec{i}+y\left( t\right) 
\vec{j}+z\left( t\right) $\vspace{1pt}$\vec{k}$ is called the position
vector of a curve $C:x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right) .$
Let us consider $\vec{r}$ at $t$ and at a nearby subsequent point $t+\Delta
t.$

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{3.8303in}{2.9084in}{0pt}{}{}{rdr.bmp}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 3.8303in;height 2.9084in;depth
0pt;original-width 3.781in;original-height 2.8643in;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/rdr.bmp';file-properties
"XNPEU";}}
\end{center}

\vspace{1pt}

Note that $\dfrac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$ has the same direction as $%
\Delta \vec{r}$ since $\Delta t>0.$ Thus as $\Delta t\rightarrow 0,$ $\dfrac{%
\Delta \vec{r}}{\Delta t}\rightarrow \dfrac{d\vec{r}}{dt}$ and this is the
direction of the tangent vector to $C$ at any point $\left( x\left( t\right)
,y\left( t\right) ,z\left( t\right) \right) .$

\begin{example}
At what point or points is the tangent to the curve $%
C:x=t^{3},y=5t^{2},z=10t $ perpendicular to the direction of the tangent
when $t=1.$
\end{example}

We graph the curve first. $\left[ 
\begin{array}{ccc}
t^{3} & 5t^{2} & 10t%
\end{array}%
\right] $\FRAME{dtbpFX}{3in}{2.0003in}{0pt}{}{}{Plot}{\special{language
"Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 3in;height 2.0003in;depth
0pt;display "USEDEF";plot_snapshots TRUE;recompute FALSE;lastEngine
"Maple";xmin "-5";xmax "5";xviewmin "-130.000000022";xviewmax
"130.10000112244";yviewmin "-2.4468971472996";yviewmax
"127.548938656946";zviewmin "-52.0000000028";zviewmax "52.040000142856";phi
45;theta 45;plottype 5;num-x-gridlines 25;num-y-gridlines 25;axesstyle
"Normal";xis \TEXUX{t};var1name \TEXUX{$t$};var2name \TEXUX{$y$};function
\TEXUX{$\left[
\MATRIX{3,1}{c}\VR{,,c,,,}{,,c,,,}{,,c,,,}{,,,,,}\HR{,}\CELL{t^{3}}%
\CELL{5t^{2}}\CELL{10t}\right] $};linecolor "Black";linestyle 1;pointstyle
"Point";linethickness 3;lineAttributes "Solid";var1range "-5,5";surfaceColor
"[linear:XYZ:RGB:0x00ff0000:0x000000ff]";num-x-gridlines 50;valid_file
"T";tempfilename 'FP028809.wmf';tempfile-properties "XPR";}}

We may represent $C$ by the vector $\vec{r}(t)=t^{3}\vec{i}+5t^{2}\vec{j}+10t%
\vec{k}.$ Then the tangent to $C$ at any point is

\vspace{1pt}

\begin{equation*}
\frac{d\vec{r}}{dt}=3t^{2}\vec{i}+10t\vec{j}+10\vec{k}
\end{equation*}

\vspace{1pt}

At $t=1$ the tangent is $\vec{W}=3\vec{i}+10\vec{j}+10\vec{k}.$ To find
where $\dfrac{d\vec{r}}{dt}$ is perpendicular to $\vec{W}$ we set the dot
product of these vectors equal to $0.$

\vspace{1pt}$\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot \vec{W}=\left( 3t^{2},10t,10\right)
\cdot \left( 3,10,10\right) =\allowbreak 100+9t^{2}+100t=0$, Solution is: $%
\left\{ t=-10\right\} ,\left\{ t=-\frac{10}{9}\right\} .$ Thus at the points 
$\left( -1000,500,-100\right) $ and $\left( \frac{-1000}{729},\frac{500}{81},%
\frac{-100}{9}\right) $ the tangent is perpendicular to its direction at $%
\left( 1,5,10\right) .$

\vspace{1pt}

If $\vec{U}$ and $\vec{V}$ are two vector functions of $t$ that are both
differentiable, then it is not hard to show that

\vspace{1pt}

\begin{eqnarray*}
\dfrac{d}{dt}\left( \vec{U}\cdot \vec{V}\right) &=&\frac{d\vec{U}}{dt}\cdot 
\vec{V}+\vec{U}\cdot \frac{d\vec{V}}{dt} \\
\frac{d}{dt}\left( \vec{U}\times \vec{V}\right) &=&\frac{d\vec{U}}{dt}\times 
\vec{V}+\vec{U}\times \frac{d\vec{V}}{dt} \\
\frac{d}{dt}\left[ \vec{U}\cdot \left( \vec{V}\times \vec{W}\right) \right]
&=&\frac{d\vec{U}}{dt}\cdot \left( \vec{V}\times \vec{W}\right) +\vec{U}%
\cdot \left( \dfrac{d\vec{V}}{dt}\times \vec{W}\right) +\vec{U}\cdot \left( 
\vec{V}\times \dfrac{d\vec{W}}{dt}\right)
\end{eqnarray*}

\vspace{1pt}

If $\vec{U}=\left( u_{1},u_{2},u_{3}\right) ,\vec{V}=\left(
v_{1},v_{2},v_{3}\right) ,$ and $\vec{W}=\left( w_{1},w_{2},w_{3}\right) ,$
then since

\vspace{1pt}

\begin{equation*}
\vec{U}\cdot \left( \vec{V}\times \vec{W}\right) =\left| 
\begin{array}{ccc}
u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ 
v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ 
w_{1} & w_{2} & w_{3}%
\end{array}%
\right|
\end{equation*}

\vspace{1pt}

the last equation above leads to the following interesting formula for the
derivative of a $3\times 3$ determinant.

\vspace{1pt}

\begin{equation*}
\dfrac{d}{dt}\left| 
\begin{array}{ccc}
u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ 
v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ 
w_{1} & w_{2} & w_{3}%
\end{array}%
\right| =\left| 
\begin{array}{ccc}
\frac{du_{1}}{dt} & \frac{du_{2}}{dt} & \frac{du_{3}}{dt} \\ 
v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ 
w_{1} & w_{2} & w_{3}%
\end{array}%
\right| +\left| 
\begin{array}{ccc}
u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ 
\frac{dv_{1}}{dt} & \frac{dv_{2}}{dt} & \frac{dv_{3}}{dt} \\ 
w_{1} & w_{2} & w_{3}%
\end{array}%
\right| +\left| 
\begin{array}{ccc}
u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ 
v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ 
\frac{dw_{1}}{dt} & \frac{dw_{2}}{dt} & \frac{dw_{3}}{dt}%
\end{array}%
\right|
\end{equation*}

\vspace{1pt}

\FRAME{dtbpF}{4.1459in}{0.0735in}{0pt}{}{}{maroon2.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 4.1459in;height 0.0735in;depth
0pt;original-width 287.1875pt;original-height 3.1875pt;cropleft "0";croptop
"0.053";cropright "1";cropbottom "0.947";filename
'graphics/maroon2.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\subsection{Arc Length in Three Dimensions}

Let $C$ $:\left( x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right)
\right) $ $a\leq t\leq b$ be a curve in three space and suppose that $C$ is 
\emph{smooth.} By this it is meant that $x^{\prime }\left( t\right)
,y^{\prime }\left( t\right) ,$ and $z^{\prime }\left( t\right) $ are
continuous and not all simultaneously zero on $a<t<b.$ The \emph{length }$L$
of $C$ is defined by

\vspace{1pt}%
\begin{equation*}
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left( \dfrac{dx}{dt}\right) ^{2}+\left( \dfrac{dy}{dt}%
\right) ^{2}+\left( \dfrac{dz}{dt}\right) ^{2}}
\end{equation*}

\vspace{1pt}

We have seen the position vector $\vec{r}\left( t\right) =\left( x\left(
t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right) \right) $ from the origin to
any point on $C$ describes $C$ as $t$ goes from $a$ to $b.$ Since $\vec{r}%
^{\prime }\left( t\right) =(x^{\prime }\left( t\right) ,y^{\prime }\left(
t\right) ,z^{\prime }\left( t\right) ),$ then $\left\| \vec{r}^{\prime
}\left( t\right) \right\| =\sqrt{\left[ x^{\prime }\left( t\right) \right]
^{2}+\left[ y^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ z^{\prime }\left(
t\right) \right] ^{2}}$ so that

\vspace{1pt}

\begin{equation*}
L=\int_{a}^{b}\left\| \vec{r}^{\prime }\left( t\right) \right\| dt
\end{equation*}

\begin{center}
\end{center}

\vspace{1pt}

\begin{example}
Find the length of the curve $\left( \sin t,\cos t,1\right) ,$ $0\leq t\leq
2\pi $
\end{example}

Since $\vec{r}^{\prime }\left( t\right) =(\sin t,\cos t,1),$ then $\vec{r}%
^{\prime }\left( t\right) =\left( \cos t,-\sin t,0\right) $ so that $\left\| 
\vec{r}^{\prime }\left( t\right) \right\| =1.$ $\ $Thus $L=\int_{0}^{2\pi
}1dt=\allowbreak 2\pi .$

Why is this result expected? 
\CustomNote{AnswerNote}{%
The curve is a circle of unit radius in the plane $z=1,$ and the
circumference of a circle is given by $2\pi r.$}

\vspace{1pt}

\begin{example}
Find the length of the curve $\left( t^{3},5t^{2},10\right) $ \ $-5\leq
t\leq 5$
\end{example}

\vspace{1pt}

\begin{equation*}
L=\int_{-5}^{5}\sqrt{\left[ 3t^{2}\right] ^{2}+\left[ 10t\right] ^{2}}dt=%
\frac{3250}{27}\sqrt{13}-\frac{2000}{27}
\end{equation*}

\vspace{1pt}

\begin{example}
Graph the curve $\left( t,t^{2},3\right) ,$ identify it, and find its length
on the interval $1\leq t\leq 5.$

$\left( t,t^{2},3\right) $\FRAME{dtbpFX}{3in}{2.0003in}{0pt}{}{}{Plot}{%
\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 3in;height
2.0003in;depth 0pt;display "USEDEF";plot_snapshots TRUE;recompute
FALSE;lastEngine "Maple";xmin "1";xmax "5";xviewmin "0.92000000006";xviewmax
"5.0815999969388";yviewmin "0.5200000006";yviewmax
"25.489599969388";zviewmin "1.95999378000012";zviewmax
"4.04080522439388";phi 45;theta 45;plottype 5;num-x-gridlines
25;num-y-gridlines 25;axesstyle "Normal";xis \TEXUX{t};var1name
\TEXUX{$t$};var2name \TEXUX{$y$};function \TEXUX{$\left( t,t^{2},3\right)
$};linecolor "Black";linestyle 1;pointstyle "Point";linethickness
3;lineAttributes "Solid";var1range "1,5";surfaceColor
"[linear:XYZ:RGB:0x00ff0000:0x000000ff]";num-x-gridlines
50;rangeset"X";valid_file "T";tempfilename
'FP02880A.wmf';tempfile-properties "XPR";}}
\end{example}

The is part of a parabola in the plane $z=3.$ What is its equation in terms
of $x$, $y$ and $\ z?%
\CustomNote{AnswerNote}{%
Part of the parabola $x=y^{2},$ $z=3$}$

\vspace{1pt}

\begin{equation*}
L=\int_{1}^{5}\sqrt{1+4t^{2}}dt
\end{equation*}

SNB yields $L=\frac{5}{2}\sqrt{101}-\frac{1}{4}\ln \left( -10+\sqrt{101}%
\right) -\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{4}\ln \left( 2+\sqrt{5}\right)
=\allowbreak 24.\,\allowbreak 395\allowbreak $

$\vspace{1pt}$

$\vspace{1pt}$

Remark: A given curve has more than one parametrization. Indeed there are an
infinite number of parametrizations for any given curve. The length of a
curve is independent of the parametrization used. For example we may also
parametrize the curve in the last example as $\left( e^{s},e^{2s},3\right) $ 
$0\leq s\leq \ln 5.$ Then $r^{\prime }\left( t\right) =\left(
e^{s},2e^{2s},0\right) ,$ so that

\vspace{1pt}

\begin{equation*}
L=\int_{0}^{\ln 5}\sqrt{e^{2s}+4e^{4s}}ds
\end{equation*}

$\vspace{1pt}$

$\allowbreak $Again using SNB we have $L=\frac{5}{2}\sqrt{101}+\frac{1}{4}%
\ln \left( 10+\sqrt{101}\right) -\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{4}\ln \left( 2+%
\sqrt{5}\right) =\allowbreak 24.\,\allowbreak 395\allowbreak .$ This is the
same as the expression for $L$ given above. (To confirm this one must show
that

$-\ln \left( -10+\sqrt{101}\right) =\ln \left( 10+\sqrt{101}\right) .)$ Can
you show this? 
\CustomNote{AnswerNote}{$-\ln \left( -10+\sqrt{101}\right) =\ln \left( 
\dfrac{1}{-10+\sqrt{101}}\right) $%
\par
$\dfrac{1}{-10+\sqrt{101}}\times \dfrac{10+\sqrt{101}}{10+\sqrt{101}}=10+%
\sqrt{101}$%
\par
so
\par
$-\ln \left( -10+\sqrt{101}\right) =\ln \left( 10+\sqrt{101}\right) $}

\vspace{1pt}

Again let $C:\left( x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right)
\right) $ \ $a\leq t\leq b$ be a piecewise-smooth curve. Then the \emph{arc
length }$s\left( t\right) $ of the part of $C$ between $\vec{r}\left(
a\right) $ and $\vec{r}\left( t\right) $ is defined to be

\vspace{1pt}

\begin{equation*}
s\left( t\right) =\int_{a}^{t}\left\| \vec{r}^{\prime }\left( v\right)
\right\| dv
\end{equation*}

From this definition we have that

\vspace{1pt}

\begin{equation*}
\dfrac{ds}{dt}=\left\| \vec{r}^{\prime }\left( t\right) \right\|
\end{equation*}

\FRAME{dtbpF}{4.1459in}{0.0735in}{0pt}{}{}{maroon2.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 4.1459in;height 0.0735in;depth
0pt;original-width 287.1875pt;original-height 3.1875pt;cropleft "0";croptop
"0.053";cropright "1";cropbottom "0.947";filename
'graphics/maroon2.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}

\subsection{Curvature}

For a given curve $C$ the \emph{curvature }of $C$ at a given point$,$
denoted by $\kappa \left( t\right) ,$ is a measure of how quickly the curve
changes at that point. Let $\vec{r}\left( t\right) $ be the position vector
from the origin to the point $\left( x\left( t\right) ,y\left( t\right)
,z\left( t\right) \right) $ on $C.$ Then

\vspace{1pt}

\begin{equation*}
\kappa \left( t\right) =\dfrac{\left\| \vec{r}^{\prime }\left( t\right)
\times \vec{r}^{\prime \prime }\left( t\right) \right\| }{\left\| \vec{r}%
^{\prime }\left( t\right) \right\| ^{3}}
\end{equation*}

\vspace{1pt}

Since $\vec{r}\left( t\right) $ is the position vector, then we may think of 
$\vec{r}^{\prime }\left( t\right) $ as a velocity and $\vec{r}^{\prime
\prime }\left( t\right) $ as an acceleration. Letting $\vec{r}^{\prime
}\left( t\right) =\vec{v}\left( t\right) $ and $\vec{r}^{\prime \prime
}\left( t\right) =\vec{a}\left( t\right) ,$ we also have that

\vspace{1pt}

\begin{equation*}
\kappa \left( t\right) =\dfrac{\left\| \vec{v}\left( t\right) \times \vec{a}%
\left( t\right) \right\| }{\left\| \vec{v}\left( t\right) \right\| ^{3}}
\end{equation*}

The \emph{radius of curvature }$\rho \left( t\right) $ is defined by

\vspace{1pt}

\begin{equation*}
\rho \left( t\right) =\dfrac{1}{\kappa \left( t\right) }
\end{equation*}

\vspace{1pt}

\begin{example}
Find the radius of curvature of the circle $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ in the plane $%
z=4.$
\end{example}

$\vec{r}\left( t\right) =\left( a\cos t,a\sin t,4\right) $ so that $\vec{r}%
^{\prime }(t)=\vec{v}\left( t\right) =\left( -a\sin t,a\cos t,0\right) $ and 
$\vec{r}^{\prime \prime }\left( t\right) =\vec{a}\left( t\right) =\left(
-a\cos t,-a\sin t,0\right) .$ Thus

\vspace{1pt}

\begin{equation*}
\kappa \left( t\right) =\dfrac{\left\| \left( -a\sin t,a\cos t,0\right)
\times \left( -a\cos t,-a\sin t,0\right) \right\| }{\left\| \left( -a\sin
t,a\cos t,0\right) \right\| ^{3}}
\end{equation*}

$\vspace{1pt}$

Using SNB to first evaluate this, we get $\kappa \left( t\right) =\dfrac{%
\left| a^{2}\sin ^{2}t+a^{2}\cos ^{2}t\right| }{\left( \left| a\sin t\right|
^{2}+\left| a\cos t\right| ^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}}$ Using SNB to
simplify this we get $\kappa \left( t\right) =\dfrac{1}{a},$ so that $\rho
=a $ as expected.

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TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1459in;height 0.0735in;depth
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"0.5009";cropright "1";cropbottom "0.4991";filename
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\begin{center}
\end{center}

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